La Notation Siteswap (Concepts Avancés) (15/20)
Article proposé par Frédéric Roudaut
Le 15/11/2015.
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XV - Siteswaps Négatifs : Antisiteswaps
Il est évidemment judicieux de se poser la question sur la pertinence des Siteswaps négatifs. Est-ce que ceux-ci ont un sens ? Naturellement cette question est ancienne. En 1994 dans le forum rec.juggling, Andrew John Conway donne une interprétation des Siteswaps Négatifs pour les Siteswaps Vanilles en la nommant High Energy Juggling. De manière plus globale nous parlerons d'Antisiteswaps.
Le principe est relativement simple: un Siteswap négatif impliquant un retour dans le temps de l'objet impliqué, on va utiliser le concept d'antimatière. La matière effectuant un retour dans le temps équivaudra à effectuer un voyage dans le futur par de l'antimatière. Si l'objet jonglistique est une balle, on aura donc également des antiballes. Lorsqu'une balle et une antiballe se recontrent elles s'annihilent. De la même manière on peut spontanément créer une balle et une antiballe à la manière d'un multiplexe.
Les différentes animations visibles au sein de ce chapitre ont été créés par Power Juggler un simulateur réalisé par Marco Tarini pour Windows.
XV-1 - Notation Vanille
Illustrons ça avec un exemple: 22-1.
Comme illusté dans le Diagramme Vanille ci-dessous, sur le 2ème 2 on a donc création spontané d'un objet et d'un antiobjet. L'antiobjet et le 2 précédent vont ensuite s'annihiler au temps suivant.
C'est ce qu'on retrouve dans l'animation ci-dessous:
Concernant la validation d'un tel Antisiteswap Vanille, on a quelques adaptations à faire. En effet, pour qu'un Antisiteswap Vanille soit valide il faut toujours que 2 objets ne retombent pas sur le même temps mais à présent un modulo ne suffit plus toujours dans la mesure où à présent certaines trajectoires voyagent dans le passé. Pour qu'un Siteswap soit valide, lorsque la somme des temps de lancers est négative, il va falloir additionner le modulo de la période de ce résultat négatif à la période. On cherche en effet à connaitre le temps du lancer numéroté depuis la gauche et non pas la droite. En réalité par cette opération on réalise tout simplement un modulo Euclidien; mais comme différents calcul de Modulo sont possibles sur les nombres négatifs, on fera ce distinguo pour éviter les erreurs potentielles.
On peut à présent reprendre notre exemple:
On note que la moyenne est ici 1, ce qui correspond effectivement au nombre d'objets restants après la séquence 221 et pas au nombre d'objets totaux. On va voir par la suite que ce résultat n'est pas toujours vrai.
Prenons un autre exemple avec -422.
A présent l'antiobjet va apparaître en temps que 4 en même temps qu'un 2 et fera disparaître ce 2 après que ce dernier ait été relancé en 2:
La validité du Siteswap se vérifie comme précédemment. Sa période est 3. Cette fois-ci le lancer en -4 s'effectue au temps 0, la somme des 2 est donc -4, valeur négative; on part donc vers la gauche. Pour obtenir le temps de récupération on additionne donc la période au modulo de la période de la somme: 3+(-4%3)=2.
On note qu'ici la moyenne vaut 0. A l'issue de la séquence -422 on a donc pourtant 4 objets en l'air. On peut difficilement continuer à utiliser le Théorème de la Moyenne.
Poursuivons les exemples avec une variante du précédent, -422.
L'antiobjet est relancé ici. Encore une fois on montre que le Théorème de la Moyenne ne s'applique pas !
Avec l'exemple 42-3, on crée spontanément un antiobjet, et celui-ci est annihilé par la création d'un autre antiobjet. On pourrait imaginer un objet 0 lors de la création et de l'annihilation pour rester dans le schéma global:
Encore 2 derniers exemples (on n'en voit pas souvent ;-) ) avec respectivement 3-1 et 5-1, les versions Antisiteswaps des douches.
Maintenant que les bases de la théorie sont posées, vient la question de la pratique et par conséquent la représentation de l'antimatière, l'annihilation et la création spontanée des objets.
L'utilisation d'objets lumineux est une solution possible et élégante pour illustrer ce concept.
La vidéo ci-dessous de Phillip Edwards le démontre au travers de divers exemples en balles lumineuses. On notera toutefois que son affirmation sur les formules mathématiques identiques et toujours valides avec les Siteswaps Négatifs est légérement inexacte.
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- On numérote les temps de lancers/récupérations en partant de 0 puis on additionne ceux-ci aux chiffres Siteswap associés en appliquant un modulo de la période.
- Si le résultat précédent est négatif, on additionne ce résultat négatif à la période.
- Sinon on conserve ce modulo tel quel, l'opération est identique à celle réalisée dans le cadre des Siteswaps Vanilles.
- Si l'on obtient 2 valeurs identiques ceci signifie simplement que l'on doit récupérer au moins 2 objets sur le même temps. Le Siteswap n'est alors pas valide.
Bien entendu les Antisiteswaps ne sont pas exclusivement réservés aux Siteswaps Vanilles. Rien n'empêche de dériver ainsi des Antisiteswaps Multiplexes, Synchrones, Synchrones Multiplexes et pourquoi pas MultiSynchrones (ou Mixtes). A l'instar des familles de Siteswaps on a donc les familles d'Antisiteswaps suivantes:
XV-2 - Notation Multiplexe
On peut aisément ajouter des lancers Négatifs aux Siteswaps Multiplexes pour obtenir des Siteswaps Multiplexes. Le lancer Négatif peut être dans le multiplexe lui-même ou bien en dehors, à l'identique de ce qu'on a déjà dans les Antisiteswap Vanilles. On peut donc à présent avoir un lancer multiplexe comportant plusieurs objets et un antiobjet et/ou un squeeze comportement également un ou plusieurs objets et un antiobjet. En théorie, l'antiobjet ne fait apparaitre et n'annihile qu'au plus un seul objet. Mais c'est purement une définition de ma part. Je n'ai rien vu sur le sujet et on pourrait très bien changer ce paradigme.
Prenons pour exemple 1[2-1]:
![antisiteswap_1[2-1].png](/theorie/notation/siteswap-avancee/data/antisiteswap_1[2-1].png)
On remarque qu'ici la moyenne donne effectivement le nombre d'objets restants après la séquence 1[2-1]. Cependant ce n'est pas toujours le cas. Le Théroème de la moyenne ne s'applique pas toujours.
L'avantage de ce modèle est qu'on va retrouver un mécanisme assez proche pour valider un Antisiteswap Multiplexe.
- On numérote les temps de lancers/récupérations en partant de 0 puis on additionne ceux-ci aux chiffres Siteswaps avant d'appliquer un modulo de la période
sur les résultats obtenus. Chaque lancer multiplexe compte pour 1 seule unité de temps.
- Si le résultat précédent est négatif, on additionne ce résultat négatif à la période.
- Sinon on conserve ce modulo tel quel, l'opération est identique à celle réalisée dans le cadre des Siteswaps Multiplexe.
- On répertorie ensuite les multiplexes, leurs temps ainsi que le nombre d'objets lancés simultanément par multiplexe. On vérifie au sein des résultats précédents, que les récupérations correspondent exactement au nombre d'objets lancés par multiplexe/simplexe.
Si on reprend l'exemple précédent, on retrouve bien que 2 objets retombent sur le temps 1 et 1 seul sur le temps 0.
XV-3 - Notation Synchrone
Les lancers Négatifs sur les Siteswaps Synchrones n'ajoutent pas plus de complexité comme on peut le noter dans l'exemple ci-dessous (2,4x)(-2x,4):
(-2x,4).png)
- On développe le Siteswap s'il se termine par le symbole « * »;
- On numérote en séparant les mains, les temps de lancers/récupérations en partant de 0 puis on additionne ceux-ci aux chiffres Siteswaps associés avant d'appliquer un modulo de la période sur les résultats obtenus. Chaque couple (Main Droite, Main Gauche) compte pour deux unités de temps.
- Si le résultat précédent est négatif, on additionne ce résultat négatif à la période.
- Sinon on conserve ce modulo tel quel, l'opération est identique à celle réalisée dans le cadre des Siteswaps Multiplexes.
- On s'intéresse ensuite aux catchs : les résultats précédents indiquent ces différents temps de récupération. Lorsqu'il y a un "X" au sein des modulos précédents on change de main pour le catch correspondant. Le Siteswap est valide si on a 1 catch au maximum sur chaque temps.
On vérifiera aisément que ce mécanisme s"applique correctement sur l'exemple précédent
XV-4 - Notation Synchrone Multiplexe
Pour les Antisiteswaps Synchrones Multiplexes, on retrouve les modèles précédents et encore une fois l'antiobjet ne fait apparaitre et n'annihile qu'au plus un seul objet.
Voici un exemple avec (2,4x)([-2x4],4):
![antisiteswap_-(2,4x)([-2x4],4).png](/theorie/notation/siteswap-avancee/data/antisiteswap_-(2,4x)([-2x4],4).png)
- On développe le Siteswap s'il se termine par le symbole « * »;
- On numérote en séparant les mains, les temps de lancers/récupérations en partant de 0 puis on additionne ceux-ci aux chiffres Siteswaps associés avant d'appliquer un modulo de la période sur les résultats obtenus. Chaque couple (Main Droite, Main Gauche) compte pour deux unités de temps et chaque lancer multiplexe compte pour 1 seule unité de temps.
- Si le résultat précédent est négatif, on additionne ce résultat négatif à la période.
- Sinon on conserve ce modulo tel quel, l'opération est identique à celle réalisée dans le cadre des Siteswaps Synchrones Multiplexe.
- On comptabilise ensuite les récupérations aux temps concernés comme indiqué par les résultats précédent. Un « X » indique qu'il faut appliquer la récupération dans l'autre main.
- On répertorie ensuite les multiplexes, leurs temps ainsi que le nombre d'objets lancés simultanément par multiplexe. On vérifie au sein des résultats précédents, que les récupérations correspondent exactement au nombre d'objets lancés par multiplexe/simplexe.
XV-5 - Notation MultiSynchrone
Bien entendu on a également des Antisiteswaps MultiSynchrones
- On numérote en séparant les mains, les temps de lancers/récupérations en partant de 0 puis on additionne ceux-ci aux chiffres Siteswaps associés avant d'appliquer un modulo
de la période sur les résultats obtenus.
- Si le résultat précédent est négatif, on additionne ce résultat négatif à la période.
- Sinon on conserve ce modulo tel quel, l'opération est identique à celle réalisée dans le cadre des Siteswaps Synchrones Multiplexe.
- On comptabilise ensuite les récupérations aux temps concernés comme indiqué par les résultats précédents et la présence ou non du Symbole « X ».
- On répertorie ensuite les multiplexes, leurs temps ainsi que le nombre d'objets lancés simultanément par multiplexe. On vérifie qu'on a une équivalence entre les résultats de modulo et le nombre d'objets des divers lancers multiplexes/simplexes.
XV-6 - Modéle alternatif d'ajout/suppression d'objet sans Antisiteswap
Les AntiSitewaps sont intéressants pour représenter l'ajout ou la suppression d'objets mais restent néanmoins difficiles à visualiser. Au Chapitre V, j'avais indiqué la proposition de Charly Dancey de ne pas limiter les Diagrammes Etats-Transitions à un nombre donné d'objet. Il devenait alors possible de représenter les passages d'un état à un autre comportant un objet de plus (ajout/addition) par le symbole « + » ou de moins (suppression/drop) par le symbole « - ».
On a donc un modèle alternatif aux Antisiteswaps relativement simple.
Pour comprendre ce modèle, observons la Matrice Etats/Transitions de hauteur maximum 5.
On peut y trouver un chemin initié depuis l'Etat Fondamental 00111 à 3 objets sur une hauteur maximum 5 vers l'Etat Fondamental à 4 objets 01111 également sur une hauteur maximum de 5. Le passage de 3 à 4 objets a été possible grace à une transition « + ». Iniitialement depuis l'Etat fondamental 00111, on pouvait réaliser différentes figures comme la Cascade 3 par exemple, et arrivé dans l'état 01111, les figures à 4 deviennent possibles, comme la Fontaine 4, 53 ... On a donc fait apparaître un objet dans la Main Gauche. Si on note le Siteswap résultant on a donc: 3..3 444+ 53. 444+ est la transition permettant le passage de l'Etat fondamental à 3 objets vers l'Etat Fondamental à 4 Objets.
Pour la suppression d'un objet on réalise le même type d'opération.
Le chemin modélisé dans la Matrice est donc le suivant:
Ici on est donc parti de l'état Fondamental à 4 objets pour arriver vers l'Etat fondamental à 3 objets, où on peut donc effectuer différents Siteswaps tels que la Cascade 3, 42 ... Le Siteswap résultant est donc: 4..4 -0 42. -0 est la transition permettant le passage de l'Etat fondamental à 4 objets vers l'Etat Fondamental à 3 Objets.
Attention cependant, les Siteswaps précédemment évoqués ne sont pas périodiques sur l'ensemble de leur écriture. Ils sont périodiques sur le dernier tronçon, après le symbole « + » ou « - ». Il faut revenir dans l'Etat initial pour qu'ils soient entièrement périodiques. Dans notre exemple il s'agirait par exemple de:
3..3 444+ 53 -0 42
On a donc bien reconstruit une boucle complète sur la matrice Etats/Transitions partant de la Cascade à 3 objets, en ajoutant 1 pour effectuer un Siteswap à 4: 53; droppant 1 objet pour revenir à 3 objets en 42. Voici respectivement les diagrammes Ladder et Vanille de ce Siteswap:
Quelques précisions supplémentaires:
- Ici comme avec les Antisiteswaps, le Théorème de la Moyenne ne s'applique plus.
- Dans le cas des Antisiteswaps, on a souvent (mais pas exclusivement) l'apparition/annihilation de 2 objets. Pour retrouver ce comportement, il suffit d'utiliser les Matrices Etats/Transitions Multiplexes avec 2 lancers simultanés max. Ce modèle offre donc plus de souplesse, on peut ajouter/supprimer un ou plusieurs objets. Il est également beaucoup plus simple à appréhender, on reste sur un modèle classique de représentation.
Concernant la validation d'un tel Siteswap, on retrouve exactement les mécanismes de validation classique des Siteswaps Vanille/Multiplexe/Synchrones ... Vérifions le sur notre exemple précédent 3 444+ 53 -0 42:
Les Symboles « + » et « - » n'entraînent pas un incrément du Beat. Dans le cas de l'utilisation du « + » qui correspond donc à l'ajout d'un objet, il est donc nécessaire d'ajouter un objet sur le Beat correspondant au niveau du résultat « somme du Beat et du Siteswap modulo la période ». Ceci étant fait on a exactement le même mécanisme de validation qu'un Siteswap Vanille classique, à savoir on vérifie bien que la somme du Beat et du Siteswap modulo la période donne bien des résultats tous différents (conséquence de l'absence de multiplexes/squeezes) et représentent exactement la partition 0..p-1.
Dans toutes les familles de Siteswaps, la seule différence concernant le processus de validation sera donc l'ajout d'un objet lors de l'utilisation du symbole « + » au niveau des résultats « somme du Beat et du Siteswap modulo la période ».
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