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La Notation Siteswap (Concepts Avancés) (5/20)

Article proposé par Frédéric Roudaut

Le 15/11/2015.

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V - Matrices et Diagrammes Etats/Transitions

La philosophie et la notation des diagrammes d'Etats/Transitions est différente de celle des Siteswaps mais il s'agit d'un outil complémentaire et indissociable. Ici comme en Siteswap, un état est caractérisé par une suite de chiffres mais dont la valeur et la signification de ceux ci est conceptuellement différente.

Un état est une vision instantanée de la position des objets. Le concept est relativement simple : à chaque temps on crée une cartographie des récupérations des objets pour évaluer le lancer que l'on peut effectuer. Cette cartographie est ce qu'on qualifie d'état et la transition entre les états s'effectue via les Siteswaps. On a donc différents types d'états selon la famille de Siteswaps utilisée.

Les premières bases de ce concept auraient été posées par Jack Boyce en 1988 (auteur également de Juggling Lab), suivi de près par Allen Knutson de manière indépendante. Allen Knutson en soulève les premiers principes dans son article "Siteswap Faq" daté de 1993. La représentation chiffrée des états date peut-être de 1990 par Martin Probert, formidablement expliquée dans son ouvrage "4 balls Juggling".

Par la suite nous verrons l'intérêt fondamental de ce concept pour générer différents Siteswaps, voir trouver des transitions entre Siteswaps.

V-1 - Notation Vanille

Attardons-nous tout d'abord sur un exemple d'état simple Vanille afin d'appréhender au mieux ce concept. L'état choisi est "10111". Il s'agit d'un état Vanille valide à 4 objets. Par convention il se lit de droite à gauche. Chaque "1" indique la présence d'un objet à relancer. On a quatre "1", un pour chaque objet. Au temps courant on sait donc qu'on aura un objet à relancer aux temps 0, 1, 2 et 4. Pour l'instant au temps 3 il n'y a aucun objet.

Etant donné que le temps 3 est vide, il est possible de lancer l'objet de l'état courant sur ce temps 3 par le biais du Siteswap 3. Ceci fait, un "1" vient remplir le trou et l'état évolue par décalage sur la droite; donnant le nouvel état "1111". On notera que sur la gauche de cet état on peut envisager d'ajouter autant de "0" que nécessaire sans modifier la signification de l'état. Le nombre de chiffres d'un état indique simplement la hauteur maximum que l'on envisage. En l'occurrence avec l'écriture précédente on envisageait une hauteur de 5. Pour rester cohérent à l'issu du décalage on ajoute un "0" à gauche.

L'ensemble des transitions ainsi possibles définit une matrice qui est la matrice d'Etats/Transitions. Voici pour exemple la Matrice d'Etats/Transitions Vanille de 3 objets d'une hauteur maximum de 5.

En ligne et en colonne on retrouve les états à l'identique. On notera que la diagonale de cette matrice est le point de rencontre des états identiques ligne et colonne. L'intérieur de cette matrice contient des Siteswaps unitaires. Il s'agit tout simplement des Siteswaps utilisés pour passer de la ligne à la colonne. A l'aide d'une telle matrice on peut découvrir les Siteswaps valides voir même les transitions entre Siteswaps comme nous le verrons plus tard.

La lecture de cette matrice est relativement simple. Partons par exemple de la ligne concernant l'état "00111" depuis la matrice précédente. Il s'agit de l'état ground à 3 objets comme nous le verrons par la suite.

par le biais du Siteswap 5 on tombe sur l'état colonne "10011" (Step 1).
En redescendant sur la diagonale, on va chercher l'état ligne "10011" précédent (Step 2).
On peut à présent effectuer un Siteswap 3 pour se retrouver dans l'état colonne "01101" (Step 3).
Comme précédemment on remonte sur la diagonale pour aller retrouver cet état au niveau des lignes (Step 4).
Finalement on note avec la même procédure qu'en effectuant un Siteswap 1 on se retrouve dans l'état initial (Step 5, 6).

La procédure est terminée, on a effectué une boucle et on a là un Siteswap valide.

Cette matrice peut être graphiquement représentée par le diagramme suivant :

Il s'agit donc du diagramme Etats/Transitions de 3 objets d'une hauteur maximum de 5. Ce diagramme est plus visuel que la matrice mais est difficilement utilisable dès que le nombre d'objets ou la hauteur croit. Il n'est pas non plus réellement utilisable par un programme informatique.

Voici par exemple le diagramme Etats/Transitions de 3 objets d'une hauteur maximum 7 :

Charly Dancey en réaction aux diagrammes présentés par Martin Probert dans son Livre "Four Ball Juggling" propose de pas limiter ces diagrammes à un nombre d'objets donné (cf ici). L'idée est donc d'y inclure pour une hauteur maximum donnée tous les états possibles. Il est alors possible de représenter certains passages d'un état à un autre comportant un objet de plus (addition) ou de moins (drop). L'addition d'un objet sera modélisé par le symbole « + », le drop par le symbole « - ». Voici donc le diagramme que l'on obtient pour une hauteur maximum de 5 objets.

Je reviendrais plus en détail sur cet aspect au Chapitre XV.

Une formule relativement simple dépendant du nombre d'objets et de la hauteur maximum du Siteswap permet de calculer le nombre d'états du Diagramme Etats/Transitions Vanille associé :

Le tableau ci-dessous donne le nombre d'états du Diagramme Etats/Transitions Vanille selon le nombre d'objets et la hauteur maximum du Siteswap. Les entrées colorisées en jaune pointent sur les Diagrammes Excel associés. Ceux qui ne sont pas donnés étaient soit trop volumineux soit trop coûteux en terme de calcul avec JugglingTB. La ligne « -1 » donne les diagrammes sans tenir compte d'un nombre d'objets maximum et utilise donc les symboles « + » et « - » proposés par Charly Dancey pour représenter l'addition ou le drop d'un objet. En réalité le nombre d'objets est limité à la hauteur maximum du Siteswap.

		Hauteur Max Siteswap
	Etats Vanilles	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	a	b	c	d	e	f
Nombre d'objets	0		1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1
	1		1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15
	2			1	3	6	10	15	21	28	36	45	55	66	78	91	105
	3				1	4	10	20	35	56	84	120	165	220	286	364	455
	4					1	5	15	35	70	126	210	330	495	715	1001	1365
	5						1	6	21	56	126	252	462	792	1287	2002	3003
	6							1	7	28	84	210	462	924	1716	3003	5005
	7								1	8	36	120	330	792	1716	3432	6435
	8									1	9	45	165	495	1287	3003	6435
	9										1	10	55	220	715	2002	5005
	10											1	11	66	286	1001	3003
	11												1	12	78	364	1365
	12													1	13	91	455
	13														1	14	105
	14															1	15
	15																1
	-1		2	4	8	16	32	64	128	256	512	1024	2048	4096	8192	16384	32768
	Somme (0..15)	0	2	4	8	16	32	64	128	256	512	1024	2048	4096	8192	16384	32768

Martin Probert propose une représentation plus concises de ces différents états. Il est en effet envisageable de considérer que ceux-ci sont sous un format binaire (dont le poids faible est le plus à droite) et sont donc transformables en un format décimal. Voici deux exemples de telles traductions :

Une telle représentation décimale permet de trouver aisément l'état d'arrivée après transition par un Siteswap donné :

Pour exemple cherchons l'état obtenu après le lancer 5 depuis l'état initial 10111:

Le tableau ci-dessous donne le nombre de transitions du Diagramme Etats/Transitions Vanille selon le nombre d'objets et la hauteur maximum du Siteswap. Les entrées colorisées en jaune pointent sur les Diagrammes Excel associés. Ceux qui ne sont pas donnés étaient soit trop volumineux soit trop coûteux en terme de calcul avec JugglingTB. La ligne « -1 » donne les diagrammes sans tenir compte d'un nombre d'objets maximum et utilise donc les symboles « + » et « - » proposés par Charly Dancey pour représenter l'addition ou le drop d'un objet. En réalité le nombre d'objets est limité à la hauteur maximum du Siteswap.

		Hauteur Max Siteswap
	Transitions Vanilles	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	a	b	c	d	e	f
Nombre d'objets	0		1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1
	1		1	3	5	7	9	11	13	15	17	19	21	23	25	27	29
	2			1	5	12	22	35	51	70	92	117	145	176	210	247	287
	3				1	7	22	50	95	161	252	372	525	715	946	1222	1547
	4					1	9	35	95	210	406	714	1170	1815	2695	3861	5369
	5						1	11	51	161	406	882	1722	3102	5247	8437	13013
	6							1	13	70	252	714	1722	3696	7260	13299	23023
	7								1	15	92	372	1170	3102	7260	15444	30459
	8									1	17	117	525	1815	5247	13299	30459
	9										1	19	145	715	2695	8437	23023
	10											1	21	176	946	3861	13013
	11												1	23	210	1222	5369
	12													1	25	247	1547
	13														1	27	287
	14															1	29
	15																1
	-1		4	9	20	44	96	208	448	960	2048	4352	9216	19456	40960	86016	180134
	Somme (0..15)	0	2	5	12	28	64	144	320	704	1536	3328	7168	15360	32768	69632	147366

V-2 - Notation Multiplexe

En notation Multiplexe les états sont similaires aux états Vanilles à la distinction que les différents chiffres ne sont plus limités aux valeurs 0 et 1. Ils représentent en effet le nombre d'objets disponibles aux diverses unités de temps selon une image instantanée. On va donc considérer ici des valeurs hexadécimales [0..F] en se limitant à 15 objets sur chaque temps.

Voici pour exemple l'état initial pour amorcer le Siteswap [54]21 à 4 objets :

On notera que la compatibilité entre états Vanilles et Multiplexes est assurée : un état Vanille est simplement un état Multiplexe qui propose au maximum un objet sur chaque temps.

La transition d'un état à un autre via un Siteswap donné est relativement intuitive. Voici pour exemple la transition depuis l'état 00112 via le Siteswap [23] :

Etant donné que l'on utilise à présent des chiffres hexadécimaux, l'état Multiplexe ne peut plus être considéré sur une base binaire comme présentée plus haut avec les états Vanilles. On préférera donc considérer l'état sur une base hexadécimale. La traduction en une version décimale permet donc de donner une formule simple de transition entre états via un Siteswap Multiplexe :

On notera qu'avec les différents chiffres de l'état initial tous inférieurs à la valeur hexadécimale "a", on pourrait déjà considérer une base décimale et dériver une adaptation de la formule précédente pour calculer le nouvel état. Cependant considérer une base hexadécimale dans tous les cas de figure rend le calcul plus générique.

Voici pour exemple l'état obtenu par transition depuis l'état 00112 via le Siteswap [42] :

Au sein des différentes sections ci-dessous vous trouverez différents tableaux donnant le nombre d'états et de transitions des Diagrammes Etats/Transitions Multiplexes selon le nombre d'objets et la hauteur maximum du Siteswap lorsque les lancers multiplexes concernent 0, 1, 2 et 3 objets. Les entrées colorisées en jaune pointent sur les Diagrammes Excel associés. Ceux qui ne sont pas donnés étaient soit trop volumineux soit trop coûteux en terme de calcul avec JugglingTB. La ligne « -1 » donne les diagrammes sans tenir compte d'un nombre d'objets maximum et utilise donc les symboles « + » et « - » proposés par Charly Dancey pour représenter l'addition ou le drop d'un objet. A la différence des Siteswaps Vanille, sur un temps donné on peut à présent ajouter plus d'un objet, voire également en droper plus d'un. Les symboles « + » et « - » seront donc complétés du nombre d'objets en question qui dans tous les cas est au maximum égal au nombre d'objets maximum au sein du lancer Multiplexe. En réalité, au sein des diagrammes générés en ligne « -1 », le nombre d'objets est limité au produit de la hauteur maximum du Siteswap par la nombre maximum d'objets au sein du lancer Multiplexe. Cette valeur éventuellement supérieure à 15 explique pourquoi la somme des nombres d'états des lignes précédentes est parfois différente du nombre d'états obtenu.

a - Multiplexe : 0 objet

		Hauteur Max Siteswap
	Etats Multiplexes #0	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	a	b	c	d	e	f
Nombre d'objets	0		1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1
	1
	2
	3
	4
	5
	6
	7
	8
	9
	10
	11
	12
	13
	14
	15
	-1		1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1
	Somme (0..15)	0	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1

		Hauteur Max Siteswap
	Transitions Multiplexes #0	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	a	b	c	d	e	f
	0		1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1
Nombre d'objets	1
	2
	3
	4
	5
	6
	7
	8
	9
	10
	11
	12
	13
	14
	15
	-1		1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1
	Somme (0..15)	0	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1

b - Multiplexe : 1 objet

On est ici exactement dans le cas Vanille prouvant bien que les Siteswaps Vanille sont un sous-ensemble des Siteswaps Multiplexes.

		Hauteur Max Siteswap
	Etats Multiplexes #1	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	a	b	c	d	e	f
Nombre d'objets	0		1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1
	1		1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15
	2			1	3	6	10	15	21	28	36	45	55	66	78	91	105
	3				1	4	10	20	35	56	84	120	165	220	286	364	455
	4					1	5	15	35	70	126	210	330	495	715	1001	1365
	5						1	6	21	56	126	252	462	792	1287	2002	3003
	6							1	7	28	84	210	462	924	1716	3003	5005
	7								1	8	36	120	330	792	1716	3432	6435
	8									1	9	45	165	495	1287	3003	6435
	9										1	10	55	220	715	2002	5005
	10											1	11	66	286	1001	3003
	11												1	12	78	364	1365
	12													1	13	91	455
	13														1	14	105
	14															1	15
	15																1
	-1		2	4	8	16	32	64	128	256	512	1024	2048	4096	8192	16384	32768
	Somme (0..15)	0	2	4	8	16	32	64	128	256	512	1024	2048	4096	8192	16384	32768

		Hauteur Max Siteswap
	Transitions Multiplexes #1	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	a	b	c	d	e	f
Nombre d'objets	0		1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1
	1		1	3	5	7	9	11	13	15	17	19	21	23	25	27	29
	2			1	5	12	22	35	51	70	92	117	145	176	210	247	287
	3				1	7	22	50	95	161	252	372	525	715	946	1222	1547
	4					1	9	35	95	210	406	714	1170	1815	2695	3861	5369
	5						1	11	51	161	406	882	1722	3102	5247	8437	13013
	6							1	13	70	252	714	1722	3696	7260	13299	23023
	7								1	15	92	372	1170	3102	7260	15444	30459
	8									1	17	117	525	1815	5247	13299	30459
	9										1	19	145	715	2695	8437	23023
	10											1	21	176	946	3861	13013
	11												1	23	210	1222	5369
	12													1	25	247	1547
	13														1	27	287
	14															1	29
	15																1
	-1		4	9	20	44	96	208	448	960	2048	4352	9216	19456	40960	86016	180134
	Somme (0..15)	0	2	5	12	28	64	144	320	704	1536	3328	7168	15360	32768	69632	147366

c - Multiplexe : 2 objets

		Hauteur Max Siteswap
	Etats Multiplexes #2	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	a	b	c	d	e	f
Nombre d'objets	0		1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1
	1		1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15
	2		1	3	6	10	15	21	28	36	45	55	66	78	91	105	120
	3			2	7	16	30	50	77	112	156	210	275	352	442	546	665
	4			1	6	19	45	90	161	266	414	615	880	1221	1651	2184	2835
	5				3	16	51	126	266	504	882	1452	2277	3432	5005	7098	9828
	6				1	10	45	141	357	784	1554	2850	4917	8074	12727	19383	28665
	7					4	30	126	393	1016	2304	4740	9042	16236	27742	45474	71955
	8					1	15	90	357	1107	2907	6765	14355	28314	52624	93093	157950
	9						5	50	266	1016	3139	8350	19855	43252	87802	168168	306735
	10						1	21	161	784	2907	8953	24068	58278	129844	270270	531531
	11							6	77	504	2304	8350	25653	69576	171106	388752	827190
	12							1	28	266	1554	6765	24068	73789	201643	502593	1161615
	13								7	112	882	4740	19855	69576	212941	585690	1477035
	14								1	36	414	2850	14355	58278	201643	616227	1704510
	15									8	156	1452	9042	43252	171106	585690	1787607
	-1		3	9	27	81	243	729	2187	6561	19683	59049	177147	531441	1594323	4782969	14348907
	Somme (0..15)	0	3	9	27	81	243	729	2187	6560	19628	58158	168720	473721	1276381	3285288	8068257

		Hauteur Max Siteswap
	Transitions Multiplexes #2	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	a	b	c	d	e	f
Nombre d'objets	0		1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1
	1		1	3	5	7	9	11	13	15	17	19	21	23	25	27	29
	2		1	6	15	28	45	66	91	120	153	190	231	276	325	378	435
	3			3	19	55	118	215	353	539	780	1083	1455	1903	2434	3055	??
	4			1	15	70	205	470	926	1645	2710	4215	6225	8976	12475	16900	??
	5				5	55	243	731	1766	3696	6986	12234	20187	31757	48037	70317	??
	6				1	28	205	846	2568	6426	14070	27924	51387	89056	146971	??	??
	7					7	118	731	2901	8870	22800	51738	106842	??	??	??	??
	8					1	45	470	2568	9864	30271	79413	??	??	??	??	??
	9						9	215	1766	8870	33235	102229	??	??	??	??	??
	10						1	66	926	6426	30271	111130	??	??	??	??	??
	11							11	353	3696	22800	102229	??	??	??	??	??
	12							1	91	1645	14070	79413	??	??	??	??	??
	13								13	539	6986	51738	??	??	??	??	??
	14								1	120	2710	27924	??	??	??	??	??
	15									15	780	12234	106842	??	??	??	??
	-1		8	29	106	387	1404	5049	17982	63423	??	??	??	??	??	??	??
	Somme (0..15)	0	3	14	61	252	999	3834	14337	52487	188640	663714	??	??	??	??	??

d - Multiplexe : 3 objets

		Hauteur Max Siteswap
	Etats Multiplexes #3	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	a	b	c	d	e	f
Nombre d'objets	0		1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1
	1		1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15
	2		1	3	6	10	15	21	28	36	45	55	66	78	91	105	120
	3		1	4	10	20	35	56	84	120	165	220	286	364	455	560	680
	4			3	12	31	65	120	203	322	486	705	990	1353	1807	2366	3045
	5			2	12	40	101	216	413	728	1206	1902	2882	4224	6019	8372	11403
	6			1	10	44	135	336	728	1428	2598	4455	7282	11440	17381	25662	36960
	7				6	40	155	456	1128	2472	4950	9240	16302	27456	44473	69680	106080
	8				3	31	155	546	1554	3823	8451	17205	32802	59268	102388	170261	273975
	9				1	20	135	580	1918	5328	13051	29050	59950	116336	214500	378742	644345
	10					10	101	546	2128	6728	18351	44803	100298	209352	412412	773773	1392456
	11					4	65	456	2128	7728	23607	63460	154518	347568	732524	1461824	2784600
	12					1	35	336	1918	8092	27876	82885	220198	523084	1169610	2477566	5001815
	13						15	216	1554	7728	30276	100110	291258	766272	1858156	4211312	9014565
	14						5	120	1128	6728	30276	111990	357995	1021494	2660398	6427123	14577825
	15						1	56	728	5328	27876	116304	411334	1281280	3606980	9346624	22597760
	-1		4	16	64	256	1024	4096	16384	65536	262144	1048576	4194304	16777216	67108864	268435456	1073741824
	Somme (0..15)	0	4	16	64	256	1024	4068	15648	56598	189224	582395	1656173	4369582	10827208	25353985	56445645

		Hauteur Max Siteswap
	Transitions Multiplexes #3	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	a	b	c	d	e	f
Nombre d'objets	0		1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1
	1		1	3	5	7	9	11	13	15	17	19	21	23	25	27	29
	2		1	6	15	28	45	66	91	120	153	190	231	276	325	378	435
	3		1	10	35	84	165	286	455	680	969	1330	1771	??	??	??	??
	4			6	47	163	409	855	1586	2702	4318	6564	9585	??	??	??	??
	5			3	47	238	769	1946	4214	8183	14654	24645	39417	??	??	??	??
	6			1	35	273	1157	3571	9054	20055	40230	74781	130837	??	??	??	??
	7				15	238	1405	5406	16206	41140	92646	190500	??	??	??	??	??
	8				5	163	1405	6891	24705	72325	183487	??	??	??	??	??	??
	9				1	84	1157	7470	32521	110713	317967	??	??	??	??	??	??
	10					28	769	6891	37234	149073	??	??	??	??	??	??	??
	11					7	409	5406	37237	177765	??	??	??	??	??	??	??
	12					1	165	3571	32521	188440	??	??	??	??	??	??	??
	13						45	1946	24705	177765	??	??	??	??	??	??	??
	14						9	855	16206	149073	??	??	??	??	??	??	??
	15						1	286	9054	110713	??	??	??	??	??	??	??
	-1		13	66	350	1891	10224	54752	??	??	??	??	??	??	??	??	??
	Somme (0..15)	0	4	30	206	1315	7920	45458	245803	1208763	??	??	??	??	??	??	??

V-3 - Notation Synchrone

Les états Synchrones s'inscrivent dans la lignée des états Vanilles. Tout comme pour les Siteswaps Vanilles on réutilise le symbole « , » pour différencier mains droite et gauche. Par convention, sauf indication contraire, la Main Droite est également représentée en premier. A la différence des états Vanilles cependant, les temps d'un état Synchrone sont pairs uniquement tout comme pour un Siteswap Synchrone.

Voici pour exemple l'état initial pour amorcer le Siteswap de la boîte (4,2x)* à 3 objets :

La transition d'un état à un autre via un Siteswap donné est encore une fois relativement intuitive. Voici pour exemple la transition depuis l'état 01,11 via le Siteswap (2x,2) :

Une formule relativement simple assez similaire à celle utilisée pour les Siteswaps Vanilles, dépendant du nombre d'objets et de la hauteur maximum du Siteswap permet de calculer le nombre d'états du Diagramme Etats/Transitions Synchrone associé :

Les tableaux ci-dessous donnent le nombre d'états et de transitions du Diagramme Etats/Transitions Synchrone selon le nombre d'objets et la hauteur maximum du Siteswap. Les entrées colorisées en jaune pointent sur les Diagrammes Excel associés. Ceux qui ne sont pas donnés étaient soit trop volumineux soit trop coûteux en terme de calcul avec JugglingTB. La ligne « -1 » donne les diagrammes sans tenir compte d'un nombre d'objets maximum et utilise donc les symboles « + » et « - » proposés par Charly Dancey pour représenter l'addition ou le drop d'un objet. En réalité le nombre d'objets est limité à la hauteur maximum du Siteswap.

		Hauteur Max Siteswap
	Etats Synchrones	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	a	b	c	d	e	f
Nombre d'objets	0			1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1
	1			2	2	4	4	6	6	8	8	10	10	12	12	14	14
	2			1	1	6	6	15	15	28	28	45	45	66	66	91	91
	3					4	4	20	20	56	56	120	120	220	220	364	364
	4					1	1	15	15	70	70	210	210	495	495	1001	1001
	5							6	6	56	56	252	252	792	792	2002	2002
	6							1	1	28	28	210	210	924	924	3003	3003
	7									8	8	120	120	792	792	3432	3432
	8									1	1	45	45	495	495	3003	3003
	9											10	10	220	220	2002	2002
	10											1	1	66	66	1001	1001
	11													12	12	364	364
	12													1	1	91	91
	13															14	14
	14															1	1
	15
	-1			4	4	16	16	64	64	256	256	1024	1024	4096	4096	16384	16384
	Somme (0..15)	0	0	4	4	16	16	64	64	256	256	1024	1024	4096	4096	16384	16384

		Hauteur Max Siteswap
	Transitions Synchrones	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	a	b	c	d	e	f
Nombre d'objets	0			1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1
	1			4	4	10	10	16	16	22	22	28	28	34	34	40	40
	2			2	2	25	25	76	76	155	155	262	262	397	397	560	560
	3					16	16	132	132	452	452	1080	1080	2120	2120	3676	3676
	4					2	2	97	97	665	665	2422	2422	6420	6420	14047	14047
	5							28	28	526	526	3248	3248	12252	12252	34892	34892
	6							2	2	217	217	2688	2688	15498	15498	59730	59730
	7									40	40	1352	1352	13224	13224	72600	72600
	8									2	2	385	385	7545	7545	63327	63327
	9											52	52	2770	2770	39424	39424
	10											2	2	601	601	17116	17116
	11													64	64	4940	4940
	12													2	2	865	865
	13															76	76
	14															2	2
	15
	-1			19	19	102	102	544	544	2848	2848	14592	14592	73216	73216	360448	360448
	Somme (0..15)	0	0	7	7	54	54	352	352	2080	2080	11520	11520	60928	60928	311296	311296

V-4 - Notation Synchrone Multiplexe

Les états Synchrones Multiplexes s'inscrivent dans la lignée des états Multiplexes et Synchrones.

Voici pour exemple l'état initial pour amorcer le Siteswap ([22x],2x) à 3 objets :

L'exemple ci-dessous donne la transition depuis l'état 02,01 via le Siteswap ([22x],2) :

Au sein des différentes sections ci-dessous vous trouverez différents tableaux donnant le nombre d'états et de transitions des Diagrammes Etats/Transitions Synchrones Multiplexes selon le nombre d'objets et la hauteur maximum du Siteswap lorsque les lancers multiplexes concernent 0, 1, 2 et 3 objets. Les entrées colorisées en jaune pointent sur les Diagrammes Excel associés. Ceux qui ne sont pas donnés étaient soit trop volumineux soit trop coûteux en terme de calcul avec JugglingTB. La ligne « -1 » donne les diagrammes sans tenir compte d'un nombre d'objets maximum et utilise donc les symboles « + » et « - » proposés par Charly Dancey pour représenter l'addition ou le drop d'un objet. A la différence des Siteswaps Synchrones, sur un temps donné on peut à présent ajouter plus d'un objet, voire également en droper plus d'un. Les symboles « + » et « - » seront donc complétés du nombre d'objets en question qui dans tous les cas est au maximum égal au nombre d'objets maximum au sein du lancer Multiplexe. En réalité, au sein des diagrammes générés en ligne « -1 », le nombre d'objets est limité au produit de la hauteur maximum du Siteswap par la nombre maximum d'objets au sein du lancer Multiplexe. Cette valeur éventuellement supérieure à 15 explique pourquoi la somme des nombres d'états des lignes précédentes est parfois différente du nombre d'états obtenu.

a - Synchrone, Multiplexe : 0 objet

		Hauteur Max Siteswap
	Etats Synchrones Multiplexes #0	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	a	b	c	d	e	f
Nombre d'objets	0			1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1
	1
	2
	3
	4
	5
	6
	7
	8
	9
	10
	11
	12
	13
	14
	15
	-1			1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1
	Somme (0..15)	0	0	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1

		Hauteur Max Siteswap
	Transitions Synchrones Multiplexes #0	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	a	b	c	d	e	f
	0			1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1
Nombre d'objets	1
	2
	3
	4
	5
	6
	7
	8
	9
	10
	11
	12
	13
	14
	15
	-1			1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1
	Somme (0..15)	0	0	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1

b - Synchrone, Multiplexe : 1 objet

On est ici exactement dans le cas Synchrone prouvant bien que les Siteswaps Synchrones sont un sous-ensemble des Siteswaps Synchrones Multiplexes.

		Hauteur Max Siteswap
	Etats Synchrones Multiplexes #1	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	a	b	c	d	e	f
Nombre d'objets	0			1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1
	1			2	2	4	4	6	6	8	8	10	10	12	12	14	14
	2			1	1	6	6	15	15	28	28	45	45	66	66	91	91
	3					4	4	20	20	56	56	120	120	220	220	364	364
	4					1	1	15	15	70	70	210	210	495	495	1001	1001
	5							6	6	56	56	252	252	792	792	2002	2002
	6							1	1	28	28	210	210	924	924	3003	3003
	7									8	8	120	120	792	792	3432	3432
	8									1	1	45	45	495	495	3003	3003
	9											10	10	220	220	2002	2002
	10											1	1	66	66	1001	1001
	11													12	12	364	364
	12													1	1	91	91
	13															14	14
	14															1	1
	15
	-1			4	4	16	16	64	64	256	256	1024	1024	4096	4096	16384	16384
	Somme (0..15)	0	0	4	4	16	16	64	64	256	256	1024	1024	4096	4096	16384	16384

		Hauteur Max Siteswap
	Transitions Synchrones Multiplexes #1	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	a	b	c	d	e	f
Nombre d'objets	0			1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1
	1			4	4	10	10	16	16	22	22	28	28	34	34	40	40
	2			2	2	25	25	76	76	155	155	262	262	397	397	560	560
	3					16	16	132	132	452	452	1080	1080	2120	2120	3676	3676
	4					2	2	97	97	665	665	2422	2422	6420	6420	14047	14047
	5							28	28	526	526	3248	3248	12252	12252	34892	34892
	6							2	2	217	217	2688	2688	15498	15498	59730	59730
	7									40	40	1352	1352	13224	13224	72600	72600
	8									2	2	385	385	7545	7545	63327	63327
	9											52	52	2770	2770	39424	39424
	10											2	2	601	601	17116	17116
	11													64	64	4940	4940
	12													2	2	865	865
	13															76	76
	14															2	2
	15
	-1			19	19	102	102	544	544	2848	2848	14592	14592	73216	73216	360448	360448
	Somme (0..15)	0	0	7	7	54	54	352	352	2080	2080	11520	11520	60928	60928	311296	311296

c - Synchrone, Multiplexe : 2 objets

		Hauteur Max Siteswap
	Etats Synchrones Multiplexes #2	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	a	b	c	d	e	f
Nombre d'objets	0			1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1
	1			2	2	4	4	6	6	8	8	10	10	12	12	14	14
	2			3	3	10	10	21	21	36	36	55	55	78	78	105	105
	3			2	2	16	16	50	50	112	112	210	210	352	352	546	546
	4			1	1	19	19	90	90	266	266	615	615	1221	1221	2184	2184
	5					16	16	126	126	504	504	1452	1452	3432	3432	7098	7098
	6					10	10	141	141	784	784	2850	2850	8074	8074	19383	19383
	7					4	4	126	126	1016	1016	4740	4740	16236	16236	45474	45474
	8					1	1	90	90	1107	1107	6765	6765	28314	28314	93093	93093
	9							50	50	1016	1016	8350	8350	43252	43252	168168	168168
	10							21	21	784	784	8953	8953	58278	58278	270270	270270
	11							6	6	504	504	8350	8350	69576	69576	388752	388752
	12							1	1	266	266	6765	6765	73789	73789	502593	502593
	13									112	112	4740	4740	69576	69576	585690	585690
	14									36	36	2850	2850	58278	58278	616227	616227
	15									8	8	1452	1452	43252	43252	585690	585690
	-1			9	9	81	81	729	729	6561	6561	59049	59049	531441	531441	4782969	4782969
	Somme (0..15)	0	0	9	9	81	81	729	729	6560	6560	58158	58158	473721	473721	3285288	3285288

		Hauteur Max Siteswap
	Transitions Synchrones Multiplexes #2	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	a	b	c	d	e	f
Nombre d'objets	0			1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1
	1			4	4	10	10	16	16	22	22	28	28	34	34	40	40
	2			12	12	59	59	142	142	261	261	416	416	607	607	834	834
	3			12	12	184	184	728	728	1844	1844	3732	3732	6592	6592	10624	10624
	4			6	6	349	349	2405	2405	8594	8594	22344	22344	48091	48091	91279	91279
	5					332	332	4912	4912	26334	26334	90408	90408	240672	240672	542904	542904
	6					182	182	6754	6754	57207	57207	265216	265216	883568	883568	??	??
	7					48	48	6388	6388	92076	92076	592832	592832	??	??	??	??
	8					6	6	4207	4207	113016	113016	1044943	1044943	??	??	??	??
	9							1868	1868	107066	107066	1483932	1483932	??	??	??	??
	10							536	536	78383	78383	1719812	1719812	??	??	??	??
	11							84	84	43824	43824	1636156	1636156	??	??	??	??
	12							6	6	18271	18271	1277724	1277724	??	??	??	??
	13									5428	5428	814176	814176	??	??	??	??
	14									1074	1074	418092	418092	??	??	??	??
	15									120	120	169448	169448	??	??	??	??
	-1			90	90	1666	1666	32502	32502	593622	593622	??	??	??	??	??	??
	Somme (0..15)	0	0	35	35	1171	1171	28047	28047	553521	553521	9539260	9539260	??	??	??	??

d - Synchrone, Multiplexe : 3 objets

		Hauteur Max Siteswap
	Etats Synchrones Multiplexes #3	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	a	b	c	d	e	f
Nombre d'objets	0			1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1
	1			2	2	4	4	6	6	8	8	10	10	12	12	14	14
	2			3	3	10	10	21	21	36	36	55	55	78	78	105	105
	3			4	4	20	20	56	56	120	120	220	220	364	364	560	560
	4			3	3	31	31	120	120	322	322	705	705	1353	1353	2366	2366
	5			2	2	40	40	216	216	728	728	1902	1902	4224	4224	8372	8372
	6			1	1	44	44	336	336	1428	1428	4455	4455	11440	11440	25662	25662
	7					40	40	456	456	2472	2472	9240	9240	27456	27456	69680	69680
	8					31	31	546	546	3823	3823	17205	17205	59268	59268	170261	170261
	9					20	20	580	580	5328	5328	29050	29050	116336	116336	378742	378742
	10					10	10	546	546	6728	6728	44803	44803	209352	209352	773773	773773
	11					4	4	456	456	7728	7728	63460	63460	347568	347568	1461824	1461824
	12					1	1	336	336	8092	8092	82885	82885	523084	523084	2477566	2477566
	13							216	216	7728	7728	100110	100110	766272	766272	4211312	4211312
	14							120	120	6728	6728	112035	112035	1021539	1021539	6427168	6427168
	15							56	56	5328	5328	116304	116304	1281280	1281280	9346624	9346624
	-1			16	16	256	256	4096	4096	65536	65536	1048576	1048576	16777216	16777216	268435456	268435456
	Somme (0..15)	0	0	16	16	256	256	4068	4068	56598	56598	582440	582440	4369627	4369627	25354030	25354030

		Hauteur Max Siteswap
	Transitions Synchrones Multiplexes #3	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	a	b	c	d	e	f
Nombre d'objets	0			1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1
	1			4	4	10	10	16	16	22	22	28	28	34	34	40	40
	2			12	12	59	59	142	142	261	261	416	416	607	607	834	834
	3			32	32	268	268	924	924	2216	2216	6592	6592	7572	7572	12068	12068
	4			42	42	845	845	4385	4385	13882	13882	33820	33820	69947	69947	129275	129275
	5			40	40	1974	1974	15804	15804	66620	66620	201624	201624	497202	497202	1065996	1065996
	6			20	20	3413	3413	44004	44004	250340	250340	946192	946192	2788363	2788363	??	??
	7					3748	3748	90480	90480	723196	723196	3470088	3470088	??	??	??	??
	8					2962	2962	144125	144125	1661734	1661734	??	??	??	??	??	??
	9					1660	1660	182728	182728	3132620	3132620	??	??	??	??	??	??
	10					622	622	186526	186526	4947544	4947544	??	??	??	??	??	??
	11					160	160	154796	154796	6648396	6648396	??	??	??	??	??	??
	12					20	20	104195	104195	7675416	7675416	??	??	??	??	??	??
	13							56260	56260	7652760	7652760	??	??	??	??	??	??
	14							24068	24068	6602002	6602002	??	??	??	??	??	??
	15							7848	7848	4919780	4919780	??	??	??	??	??	??
	-1			304	304	18190	18190	1057596	1057596	??	??	??	??	??	??	??	??
	Somme (0..15)	0	0	151	151	15742	15742	1016302	1016302	44296790	44296790	??	??	??	??	??	??

V-5 - Notation MultiSynchrone

En notation MultiSynchrone les états sont très similaires à ceux des Siteswaps Synchrones Multiplexes avec la différence que les temps ne sont plus uniquement pairs et la distinction main droite, main gauche est opérée par le symbole « | ». Les chiffres des états utilisent des valeurs hexadécimales [0..F].

Voici pour exemple l'état initial pour amorcer le Siteswap 51x* à 3 objets

Pour exemple voici la transition depuis l'état 01001|00010 via le Siteswap 1|0 :

Ci-dessous vous trouverez un autre exemple de transition depuis l'état 01003|00011 via le Siteswap 122x|3 :

Au sein des différentes sections ci-dessous vous trouverez différents tableaux donnant le nombre d'états et de transitions des Diagrammes Etats/Transitions MultiSynchrones selon le nombre d'objets et la hauteur maximum du Siteswap lorsque les lancers multiplexes concernent 0, 1 et 2 objets. Les entrées colorisées en jaune pointent sur les Diagrammes Excel associés. Ceux qui ne sont pas donnés étaient soit trop volumineux soit trop coûteux en terme de calcul avec JugglingTB. La ligne « -1 » donne les diagrammes sans tenir compte d'un nombre d'objets maximum et utilise donc les symboles « + » et « - » proposés par Charly Dancey pour représenter l'addition ou le drop d'un objet. Les symboles « + » et « - » seront complétés du nombre d'objets ajoutés ou droppés qui dans tous les cas est au maximum égal au nombre d'objets maximum au sein du lancer Multiplexe. En réalité, au sein des diagrammes générés en ligne « -1 », le nombre d'objets est limité au produit de la hauteur maximum du Siteswap par la nombre maximum d'objets au sein du lancer Multiplexe. Cette valeur éventuellement supérieure à 15 explique pourquoi la somme des nombres d'états des lignes précédentes est parfois différente du nombre d'états obtenu.

a - MultiSynchrone, Multiplexe : 0 objet

		Hauteur Max Siteswap
	Etats MultiSynchrones #0	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	a	b	c	d	e	f
Nombre d'objets	0		1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1
	1
	2
	3
	4
	5
	6
	7
	8
	9
	10
	11
	12
	13
	14
	15
	-1		1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1
	Somme (0..15)	0	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1

		Hauteur Max Siteswap
	Transitions MultiSynchrones #0	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	a	b	c	d	e	f
	0		1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1
Nombre d'objets	1
	2
	3
	4
	5
	6
	7
	8
	9
	10
	11
	12
	13
	14
	15
	-1		1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1
	Somme (0..15)	0	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1

b - MultiSynchrone, Multiplexe : 1 objet

		Hauteur Max Siteswap
	Etats MultiSynchrones #1	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	a	b	c	d	e	f
Nombre d'objets	0		1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1
	1		2	4	6	8	10	12	14	16	18	20	22	24	26	28	30
	2		1	6	15	28	45	66	91	120	153	190	231	276	325	378	435
	3			4	20	56	120	220	364	560	816	1140	1540	2024	2600	3276	4060
	4			1	15	70	210	495	1001	1820	3060	4845	7315	10626	14950	20475	27405
	5				6	56	252	792	2002	4368	8568	15504	26334	42504	65780	98280	142506
	6				1	28	210	924	3003	8008	18564	38760	74613	134596	230230	376740	593775
	7					8	120	792	3432	11440	31824	77520	170544	346104	657800	1184040	2035800
	8					1	45	495	3003	12870	43758	125970	319770	735471	1562275	3108105	5852925
	9						10	220	2002	11440	48620	167960	497420	1307504	3124550	6906900	14307150
	10						1	66	1001	8008	43758	184756	646646	1961256	5311735	13123110	30045015
	11							12	364	4368	31824	167960	705432	2496144	7726160	21474180	54627300
	12							1	91	1820	18564	125970	646646	2704156	9657700	30421755	86493225
	13								14	560	8568	77520	497420	2496144	10400600	37442160	119759850
	14								1	120	3060	38760	319770	1961256	9657700	40116600	145422675
	15									16	816	15504	170544	1307504	7726160	37442160	155117520
	-1		4	16	64	256	1024	4096	16384	65536	262144	1048576	4194304	16777216	67108864	268435456	1073741824
	Somme (0..15)	0	4	16	64	256	1024	4096	16384	65535	261972	1042380	4084248	15505590	56138592	191718188	614429672

		Hauteur Max Siteswap
	Transitions MultiSynchrones #1	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	a	b	c	d	e	f
Nombre d'objets	0		1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1
	1		4	10	16	22	28	34	40	46	52	58	64	70	76	82	88
	2		2	25	76	155	262	397	560	751	970	1217	1492	1795	2126	2485	2872
	3			16	132	452	1080	2120	3676	5852	8752	12480	17140	22836	29672	37752	47180
	4			2	97	665	2422	6420	14047	27027	47420	77622	120365	178717	256082	??	??
	5				28	526	3248	12252	34892	82810	172928	328440	??	??	??	??	??
	6				2	217	2688	15498	59730	179179	??	??	??	??	??	??	??
	7					40	1352	13224	72600	283712	??	??	??	??	??	??	??
	8					2	385	7545	63327	335049	??	??	??	??	??	??	??
	9						52	2770	39424	297154	??	??	??	??	??	??	??
	10						2	601	17116	197197	??	??	??	??	??	??	??
	11							64	4940	96460	??	??	??	??	??	??	??
	12							2	865	33761	??	??	??	??	??	??	??
	13								76	8022	205856	??	??	??	??	??	??
	14								2	1177	60320	??	??	??	??	??	??
	15									88	12176	397392	??	??	??	??	??
	-1		19	102	544	2848	14592	73216	??	??	??	??	??	??	??	??	??
	Somme (0..15)	0	7	54	352	2080	11520	60928	311296	1548286	??	??	??	??	??	??	??

c - MultiSynchrone, Multiplexe : 2 objets

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