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La Notation Siteswap (Concepts Avancés) (12/20)

Article proposé par Frédéric Roudaut

Le 05/05/2021.

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XII - Anagrammes & Siteswaps Scramblables (Mélangeables)

L'Anagramme d'un Siteswap est un Siteswap valide obtenu par réarrangement de certains de ses lancers. La permutation circulaire d'un Siteswap donne par définition un Siteswap valide et est donc un Anagramme mais la définition va bien au-delà néanmoins. Pour exemple, 67345 à 5 objets peut être réarrangé en 35746 ou encore en 47536 et il ne s'agit aucunement de permutation dans ces exemples.

On va s'intéresser au sein de ce chapitre à des Anagrammes particuliers: les Siteswaps Scramblables. On qualifie de Siteswap Scramblable (qu'on pourrait traduire en français par mélangeable) une séquence valide qui quelle que soit la manière dont les chiffres sont réarrangés donne un Anagramme.

XII-1 - Notation Vanille

Bien entendu tous les Siteswaps Vanilles de période 1 et 2 sont Scramblables mais on en trouve également pour des périodes plus grandes. Un exemple très connu à 4 objets est 741 et son cousin 714. Jack Boyce avait déjà évoqué ce type de Siteswaps en 1991 dans le forum rec.juggling en les nommant Permutable Siteswaps.

Les Siteswaps Scramblables Vanilles respectent le format suivant (p étant la période, c et a_k des entiers positifs) :

Le tableau ci-dessous présente les Siteswaps Scramblables Vanilles. Leurs chiffres sont classifiés par ordre croissant et pour ne pas complexifier le tableau, seul un Anagramme est donné par Siteswap Scramblable. Les symboles « * » en début et fin indiquent le caractère excité du Siteswap associé. Ces Siteswaps excités n'impliquent évidemment en aucun cas qu'il n'existe pas un réarrangement ou un Anagramme dans un état fondamental, sans pour autant le garantir.

Les Siteswaps notés en rouge ont la particularité de contenir des lancers tous différents, impliquant forcément lors d'un réarrangement une figure différente (à une rotation près).

Période

Siteswaps
Scramblables
Vanilles

Nombre d'objets

000

0000

00000

000000

0000000

00000000

000000000

0000000000

00000000000

000000000000

0000000000000

00000000000000

000000000000000

* 02 *
11

* 003 *
111

* 0004 *
1111

* 00005 *
11111

* 000006 *
111111

* 0000007 *
1111111

* 00000008 *
11111111

* 000000009 *
111111111

* 000000000a *
1111111111

* 0000000000b *
11111111111

* 00000000000c *
111111111111

* 000000000000d *
1111111111111

* 0000000000000e *
11111111111111

* 00000000000000f *
111111111111111

* 04 *
* 13 *
22

* 006 *
* 033 *
* 114 *
222

* 0008 *
* 0044 *
* 1115 *
2222

* 0000a *
* 00055 *
* 11116 *
22222

* 00000c *
* 000066 *
* 111117 *
222222

* 000000e *
* 0000077 *
* 1111118 *
2222222

* 00000088 *
* 11111119 *
22222222

* 000000099 *
* 11111111a *
222222222

* 00000000aa *
* 111111111b *
2222222222

* 000000000bb *
* 1111111111c *
22222222222

* 0000000000cc *
* 11111111111d *
222222222222

* 00000000000dd *
* 111111111111e *
2222222222222

* 000000000000ee *
* 1111111111111f *
22222222222222

* 0000000000000ff *
222222222222222

* 06 *
* 15 *
* 24 *
33

* 009 *
* 036 *
* 117 *
* 144 *
* 225 *
333

* 000c *
* 0048 *
* 0444 *
* 1119 *
* 1155 *
* 2226 *
3333

* 0000f *
* 0005a *
* 00555 *
* 1111b *
* 11166 *
* 22227 *
33333

* 00006c *
* 000666 *
* 11111d *
* 111177 *
* 222228 *
333333

* 000007e *
* 0000777 *
* 111111f *
* 1111188 *
* 2222229 *
3333333

* 00000888 *
* 11111199 *
* 2222222a *
33333333

* 000000999 *
* 1111111aa *
* 22222222b *
333333333

* 0000000aaa *
* 11111111bb *
* 222222222c *
3333333333

* 00000000bbb *
* 111111111cc *
* 2222222222d *
33333333333

* 000000000ccc *
* 1111111111dd *
* 22222222222e *
333333333333

* 0000000000ddd *
* 11111111111ee *
* 222222222222f *
3333333333333

* 00000000000eee *
* 111111111111ff *
33333333333333

* 000000000000fff *
333333333333333

* 08 *
* 17 *
* 26 *
* 35 *
44

* 00c *
* 039 *
* 066 *
* 11a *
* 147 *
* 228 *
* 255 *
* 336 *
444

* 004c *
* 0088 *
* 0448 *
* 111d *
* 1159 *
* 1555 *
* 222a *
* 2266 *
* 3337 *
4444

* 0005f *
* 000aa *
* 0055a *
* 05555 *
* 1116b *
* 11666 *
* 2222c *
* 22277 *
* 33338 *
44444

* 0000cc *
* 00066c *
* 006666 *
* 11117d *
* 111777 *
* 22222e *
* 222288 *
* 333339 *
444444

* 00000ee *
* 000077e *
* 0007777 *
* 111118f *
* 1111888 *
* 2222299 *
* 333333a *
4444444

* 00008888 *
* 11111999 *
* 222222aa *
* 3333333b *
44444444

* 000009999 *
* 111111aaa *
* 2222222bb *
* 33333333c *
444444444

* 000000aaaa *
* 1111111bbb *
* 22222222cc *
* 333333333d *
4444444444

* 0000000bbbb *
* 11111111ccc *
* 222222222dd *
* 3333333333e *
44444444444

* 00000000cccc *
* 111111111ddd *
* 2222222222ee *
* 33333333333f *
444444444444

* 000000000dddd *
* 1111111111eee *
* 22222222222ff *
4444444444444

* 0000000000eeee *
* 11111111111fff *
44444444444444

* 00000000000ffff *
444444444444444

* 0a *
* 19 *
* 28 *
* 37 *
* 46 *
55

* 00f *
* 03c *
* 069 *
* 11d *
* 14a *
* 177 *
* 22b *
* 258 *
* 339 *
* 366 *
* 447 *
555

* 008c *
* 044c *
* 0488 *
* 115d *
* 1199 *
* 1559 *
* 222e *
* 226a *
* 2666 *
* 333b *
* 3377 *
* 4448 *
5555

* 000af *
* 0055f *
* 005aa *
* 0555a *
* 111bb *
* 1166b *
* 16666 *
* 2227c *
* 22777 *
* 3333d *
* 33388 *
* 44449 *
55555

* 0006cc *
* 00666c *
* 066666 *
* 1111dd *
* 11177d *
* 117777 *
* 22228e *
* 222888 *
* 33333f *
* 333399 *
* 44444a *
555555

* 00007ee *
* 000777e *
* 0077777 *
* 11111ff *
* 111188f *
* 1118888 *
* 2222999 *
* 33333aa *
* 444444b *
5555555

* 00088888 *
* 11119999 *
* 22222aaa *
* 333333bb *
* 4444444c *
55555555

* 000099999 *
* 11111aaaa *
* 222222bbb *
* 3333333cc *
* 44444444d *
555555555

* 00000aaaaa *
* 111111bbbb *
* 2222222ccc *
* 33333333dd *
* 444444444e *
5555555555

* 000000bbbbb *
* 1111111cccc *
* 22222222ddd *
* 333333333ee *
* 4444444444f *
55555555555

* 0000000ccccc *
* 11111111dddd *
* 222222222eee *
* 3333333333ff *
555555555555

* 00000000ddddd *
* 111111111eeee *
* 2222222222fff *
5555555555555

* 000000000eeeee *
* 1111111111ffff *
55555555555555

* 0000000000fffff *
555555555555555

* 0c *
* 1b *
* 2a *
* 39 *
* 48 *
* 57 *
66

* 03f *
* 06c *
* 099 *
* 14d *
* 17a *
* 22e *
* 25b *
* 288 *
* 33c *
* 369 *
* 44a *
* 477 *
* 558 *
666

* 00cc *
* 048c *
* 0888 *
* 119d *
* 155d *
* 1599 *
* 226e *
* 22aa *
* 266a *
* 333f *
* 337b *
* 3777 *
* 444c *
* 4488 *
* 5559 *
6666

* 000ff *
* 005af *
* 00aaa *
* 0555f *
* 055aa *
* 116bb *
* 1666b *
* 222cc *
* 2277c *
* 27777 *
* 3338d *
* 33888 *
* 4444e *
* 44499 *
* 5555a *
66666

* 000ccc *
* 0066cc *
* 06666c *
* 1117dd *
* 11777d *
* 177777 *
* 2222ee *
* 22288e *
* 228888 *
* 33339f *
* 333999 *
* 4444aa *
* 55555b *
666666

* 0000eee *
* 00077ee *
* 007777e *
* 0777777 *
* 11118ff *
* 111888f *
* 1188888 *
* 2229999 *
* 3333aaa *
* 44444bb *
* 555555c *
6666666

* 00888888 *
* 11199999 *
* 2222aaaa *
* 33333bbb *
* 444444cc *
* 5555555d *
66666666

* 000999999 *
* 1111aaaaa *
* 22222bbbb *
* 333333ccc *
* 4444444dd *
* 55555555e *
666666666

* 0000aaaaaa *
* 11111bbbbb *
* 222222cccc *
* 3333333ddd *
* 44444444ee *
* 555555555f *
6666666666

* 00000bbbbbb *
* 111111ccccc *
* 2222222dddd *
* 33333333eee *
* 444444444ff *
66666666666

* 000000cccccc *
* 1111111ddddd *
* 22222222eeee *
* 333333333fff *
666666666666

* 0000000dddddd *
* 11111111eeeee *
* 222222222ffff *
6666666666666

* 00000000eeeeee *
* 111111111fffff *
66666666666666

* 000000000ffffff *
666666666666666

* 0e *
* 1d *
* 2c *
* 3b *
* 4a *
* 59 *
* 68 *
77

* 06f *
* 09c *
* 17d *
* 1aa *
* 25e *
* 28b *
* 33f *
* 36c *
* 399 *
* 44d *
* 47a *
* 55b *
* 588 *
* 669 *
777

* 04cc *
* 088c *
* 11dd *
* 159d *
* 1999 *
* 22ae *
* 266e *
* 26aa *
* 337f *
* 33bb *
* 377b *
* 448c *
* 4888 *
* 555d *
* 5599 *
* 666a *
7777

* 005ff *
* 00aaf *
* 055af *
* 05aaa *
* 11bbb *
* 166bb *
* 227cc *
* 2777c *
* 333dd *
* 3388d *
* 38888 *
* 4449e *
* 44999 *
* 5555f *
* 555aa *
* 6666b *
77777

* 006ccc *
* 0666cc *
* 111ddd *
* 1177dd *
* 17777d *
* 2228ee *
* 22888e *
* 288888 *
* 3333ff *
* 33399f *
* 339999 *
* 444aaa *
* 5555bb *
* 66666c *
777777

* 0007eee *
* 00777ee *
* 077777e *
* 1111fff *
* 11188ff *
* 118888f *
* 1888888 *
* 2299999 *
* 333aaaa *
* 4444bbb *
* 55555cc *
* 666666d *
7777777

* 08888888 *
* 11999999 *
* 222aaaaa *
* 3333bbbb *
* 44444ccc *
* 555555dd *
* 6666666e *
77777777

* 009999999 *
* 111aaaaaa *
* 2222bbbbb *
* 33333cccc *
* 444444ddd *
* 5555555ee *
* 66666666f *
777777777

* 000aaaaaaa *
* 1111bbbbbb *
* 22222ccccc *
* 333333dddd *
* 4444444eee *
* 55555555ff *
7777777777

* 0000bbbbbbb *
* 11111cccccc *
* 222222ddddd *
* 3333333eeee *
* 44444444fff *
77777777777

* 00000ccccccc *
* 111111dddddd *
* 2222222eeeee *
* 33333333ffff *
777777777777

* 000000ddddddd *
* 1111111eeeeee *
* 22222222fffff *
7777777777777

* 0000000eeeeeee *
* 11111111ffffff *
77777777777777

* 00000000fffffff *
777777777777777

* 1f *
* 2e *
* 3d *
* 4c *
* 5b *
* 6a *
* 79 *
88

* 09f *
* 0cc *
* 1ad *
* 28e *
* 2bb *
* 36f *
* 39c *
* 47d *
* 4aa *
* 55e *
* 58b *
* 66c *
* 699 *
* 77a *
888

* 08cc *
* 15dd *
* 199d *
* 22ee *
* 26ae *
* 2aaa *
* 33bf *
* 377f *
* 37bb *
* 44cc *
* 488c *
* 559d *
* 5999 *
* 666e *
* 66aa *
* 777b *
8888

* 00aff *
* 055ff *
* 05aaf *
* 0aaaa *
* 16bbb *
* 22ccc *
* 277cc *
* 338dd *
* 3888d *
* 444ee *
* 4499e *
* 49999 *
* 555af *
* 55aaa *
* 666bb *
* 7777c *
88888

* 00cccc *
* 066ccc *
* 117ddd *
* 1777dd *
* 222eee *
* 2288ee *
* 28888e *
* 3339ff *
* 33999f *
* 399999 *
* 44aaaa *
* 555bbb *
* 6666cc *
* 77777d *
888888

* 000eeee *
* 0077eee *
* 07777ee *
* 1118fff *
* 11888ff *
* 188888f *
* 2999999 *
* 33aaaaa *
* 444bbbb *
* 5555ccc *
* 66666dd *
* 777777e *
8888888

* 19999999 *
* 22aaaaaa *
* 333bbbbb *
* 4444cccc *
* 55555ddd *
* 666666ee *
* 7777777f *
88888888

* 099999999 *
* 11aaaaaaa *
* 222bbbbbb *
* 3333ccccc *
* 44444dddd *
* 555555eee *
* 6666666ff *
888888888

* 00aaaaaaaa *
* 111bbbbbbb *
* 2222cccccc *
* 33333ddddd *
* 444444eeee *
* 5555555fff *
8888888888

* 000bbbbbbbb *
* 1111ccccccc *
* 22222dddddd *
* 333333eeeee *
* 4444444ffff *
88888888888

* 0000cccccccc *
* 11111ddddddd *
* 222222eeeeee *
* 3333333fffff *
888888888888

* 00000dddddddd *
* 111111eeeeeee *
* 2222222ffffff *
8888888888888

* 000000eeeeeeee *
* 1111111fffffff *
88888888888888

* 0000000ffffffff *
888888888888888

* 3f *
* 4e *
* 5d *
* 6c *
* 7b *
* 8a *
99

* 0cf *
* 1dd *
* 2be *
* 39f *
* 3cc *
* 4ad *
* 58e *
* 5bb *
* 66f *
* 69c *
* 77d *
* 7aa *
* 88b *
999

* 0ccc *
* 19dd *
* 26ee *
* 2aae *
* 33ff *
* 37bf *
* 3bbb *
* 48cc *
* 55dd *
* 599d *
* 66ae *
* 6aaa *
* 777f *
* 77bb *
* 888c *
9999

* 00fff *
* 05aff *
* 0aaaf *
* 1bbbb *
* 27ccc *
* 33ddd *
* 388dd *
* 449ee *
* 4999e *
* 555ff *
* 55aaf *
* 5aaaa *
* 66bbb *
* 777cc *
* 8888d *
99999

* 06cccc *
* 11dddd *
* 177ddd *
* 228eee *
* 2888ee *
* 333fff *
* 3399ff *
* 39999f *
* 4aaaaa *
* 55bbbb *
* 666ccc *
* 7777dd *
* 88888e *
999999

* 007eeee *
* 0777eee *
* 111ffff *
* 1188fff *
* 18888ff *
* 3aaaaaa *
* 44bbbbb *
* 555cccc *
* 6666ddd *
* 77777ee *
* 888888f *
9999999

* 2aaaaaaa *
* 33bbbbbb *
* 444ccccc *
* 5555dddd *
* 66666eee *
* 777777ff *
99999999

* 1aaaaaaaa *
* 22bbbbbbb *
* 333cccccc *
* 4444ddddd *
* 55555eeee *
* 666666fff *
999999999

* 0aaaaaaaaa *
* 11bbbbbbbb *
* 222ccccccc *
* 3333dddddd *
* 44444eeeee *
* 555555ffff *
9999999999

* 00bbbbbbbbb *
* 111cccccccc *
* 2222ddddddd *
* 33333eeeeee *
* 444444fffff *
99999999999

* 000ccccccccc *
* 1111dddddddd *
* 22222eeeeeee *
* 333333ffffff *
999999999999

* 0000ddddddddd *
* 11111eeeeeeee *
* 222222fffffff *
9999999999999

* 00000eeeeeeeee *
* 111111ffffffff *
99999999999999

* 000000fffffffff *
999999999999999

* 5f *
* 6e *
* 7d *
* 8c *
* 9b *
aa

* 0ff *
* 2ee *
* 3cf *
* 4dd *
* 5be *
* 69f *
* 6cc *
* 7ad *
* 88e *
* 8bb *
* 99c *
aaa

* 1ddd *
* 2aee *
* 37ff *
* 3bbf *
* 4ccc *
* 59dd *
* 66ee *
* 6aae *
* 77bf *
* 7bbb *
* 88cc *
* 999d *
aaaa

* 05fff *
* 0aaff *
* 2cccc *
* 38ddd *
* 44eee *
* 499ee *
* 55aff *
* 5aaaf *
* 6bbbb *
* 77ccc *
* 888dd *
* 9999e *
aaaaa

* 0ccccc *
* 17dddd *
* 22eeee *
* 288eee *
* 339fff *
* 3999ff *
* 5bbbbb *
* 66cccc *
* 777ddd *
* 8888ee *
* 99999f *
aaaaaa

* 00eeeee *
* 077eeee *
* 118ffff *
* 1888fff *
* 4bbbbbb *
* 55ccccc *
* 666dddd *
* 7777eee *
* 88888ff *
aaaaaaa

* 3bbbbbbb *
* 44cccccc *
* 555ddddd *
* 6666eeee *
* 77777fff *
aaaaaaaa

* 2bbbbbbbb *
* 33ccccccc *
* 444dddddd *
* 5555eeeee *
* 66666ffff *
aaaaaaaaa

* 1bbbbbbbbb *
* 22cccccccc *
* 333ddddddd *
* 4444eeeeee *
* 55555fffff *
aaaaaaaaaa

* 0bbbbbbbbbb *
* 11ccccccccc *
* 222dddddddd *
* 3333eeeeeee *
* 44444ffffff *
aaaaaaaaaaa

* 00cccccccccc *
* 111ddddddddd *
* 2222eeeeeeee *
* 33333fffffff *
aaaaaaaaaaaa

* 000dddddddddd *
* 1111eeeeeeeee *
* 22222ffffffff *
aaaaaaaaaaaaa

* 0000eeeeeeeeee *
* 11111fffffffff *
aaaaaaaaaaaaaa

* 00000ffffffffff *
aaaaaaaaaaaaaaa

* 7f *
* 8e *
* 9d *
* ac *
bb

* 3ff *
* 5ee *
* 6cf *
* 7dd *
* 8be *
* 99f *
* 9cc *
* aad *
bbb

* 2eee *
* 3bff *
* 5ddd *
* 6aee *
* 77ff *
* 7bbf *
* 8ccc *
* 99dd *
* aaae *
bbbb

* 0afff *
* 3dddd *
* 49eee *
* 55fff *
* 5aaff *
* 7cccc *
* 88ddd *
* 999ee *
* aaaaf *
bbbbb

* 1ddddd *
* 28eeee *
* 33ffff *
* 399fff *
* 6ccccc *
* 77dddd *
* 888eee *
* 9999ff *
bbbbbb

* 07eeeee *
* 11fffff *
* 188ffff *
* 5cccccc *
* 66ddddd *
* 777eeee *
* 8888fff *
bbbbbbb

* 4ccccccc *
* 55dddddd *
* 666eeeee *
* 7777ffff *
bbbbbbbb

* 3cccccccc *
* 44ddddddd *
* 555eeeeee *
* 6666fffff *
bbbbbbbbb

* 2ccccccccc *
* 33dddddddd *
* 444eeeeeee *
* 5555ffffff *
bbbbbbbbbb

* 1cccccccccc *
* 22ddddddddd *
* 333eeeeeeee *
* 4444fffffff *
bbbbbbbbbbb

* 0ccccccccccc *
* 11dddddddddd *
* 222eeeeeeeee *
* 3333ffffffff *
bbbbbbbbbbbb

* 00ddddddddddd *
* 111eeeeeeeeee *
* 2222fffffffff *
bbbbbbbbbbbbb

* 000eeeeeeeeeee *
* 1111ffffffffff *
bbbbbbbbbbbbbb

* 0000fffffffffff *
bbbbbbbbbbbbbbb

* 9f *
* ae *
* bd *
cc

* 6ff *
* 8ee *
* 9cf *
* add *
* bbe *
ccc

* 3fff *
* 6eee *
* 7bff *
* 9ddd *
* aaee *
* bbbf *
cccc

* 0ffff *
* 4eeee *
* 5afff *
* 8dddd *
* 99eee *
* aaaff *
ccccc

* 2eeeee *
* 39ffff *
* 7ddddd *
* 88eeee *
* 999fff *
cccccc

* 0eeeeee *
* 18fffff *
* 6dddddd *
* 77eeeee *
* 888ffff *
ccccccc

* 5ddddddd *
* 66eeeeee *
* 777fffff *
cccccccc

* 4dddddddd *
* 55eeeeeee *
* 666ffffff *
ccccccccc

* 3ddddddddd *
* 44eeeeeeee *
* 555fffffff *
cccccccccc

* 2dddddddddd *
* 33eeeeeeeee *
* 444ffffffff *
ccccccccccc

* 1ddddddddddd *
* 22eeeeeeeeee *
* 333fffffffff *
cccccccccccc

* 0dddddddddddd *
* 11eeeeeeeeeee *
* 222ffffffffff *
ccccccccccccc

* 00eeeeeeeeeeee *
* 111fffffffffff *
cccccccccccccc

* 000ffffffffffff *
ccccccccccccccc

* bf *
* ce *
dd

* 9ff *
* bee *
* ccf *
ddd

* 7fff *
* aeee *
* bbff *
dddd

* 5ffff *
* 9eeee *
* aafff *
ddddd

* 3fffff *
* 8eeeee *
* 99ffff *
dddddd

* 1ffffff *
* 7eeeeee *
* 88fffff *
ddddddd

* 6eeeeeee *
* 77ffffff *
dddddddd

* 5eeeeeeee *
* 66fffffff *
ddddddddd

* 4eeeeeeeee *
* 55ffffffff *
dddddddddd

* 3eeeeeeeeee *
* 44fffffffff *
ddddddddddd

* 2eeeeeeeeeee *
* 33ffffffffff *
dddddddddddd

* 1eeeeeeeeeeee *
* 22fffffffffff *
ddddddddddddd

* 0eeeeeeeeeeeee *
* 11ffffffffffff *
dddddddddddddd

* 00fffffffffffff *
ddddddddddddddd

* df *
ee

* cff *
eee

* bfff *
eeee

* affff *
eeeee

* 9fffff *
eeeeee

* 8ffffff *
eeeeeee

* 7fffffff *
eeeeeeee

* 6ffffffff *
eeeeeeeee

* 5fffffffff *
eeeeeeeeee

* 4ffffffffff *
eeeeeeeeeee

* 3fffffffffff *
eeeeeeeeeeee

* 2ffffffffffff *
eeeeeeeeeeeee

* 1fffffffffffff *
eeeeeeeeeeeeee

* 0ffffffffffffff *
eeeeeeeeeeeeeee

fff

ffff

fffff

ffffff

fffffff

ffffffff

fffffffff

ffffffffff

fffffffffff

ffffffffffff

fffffffffffff

ffffffffffffff

fffffffffffffff

Somme
(0..15)

On trouve des propriétés intéressantes avec les Siteswaps Scramblables Vanilles:

La différence entre 2 chiffres d'un Siteswap Scramblable est multiple de la période. Ceci se constate aisément par observation du format énoncé précédemment. Cette propriété peut se résumer par la formule suivante (p étant la période et k un entier).
En particulier, si le plus petit lancer du Siteswap est 0, chacun des chiffres de celui-ci est multiple de la période. C'est le cas par exemple de 036 (3 et 6 sont bien multiples de la période 3), 0448 (4 et 8 sont bien multiples de la période 4) ...
Si on ajoute un multiple de la période à un ou plusieurs des chiffres d'un Siteswap Scramblable, on obtient encore un Siteswap Scramblable. Prenons pour exemple le Siteswap Scramblable 147 de période 3 à 4 objets. On note que 14a, 177, 17a, 447, 44a, 477 ou encore 47a sont encore des Siteswaps Scramblables.
Un Siteswap Scramblable Fondamental a au plus 2 valeurs différentes de lancers.
Un Siteswap Scramblable Fondamental est une boucle simple, c'est à dire qu'il n'y a pas de répétition possible à l'intérieur de celui-ci. Le Siteswap 45141 n'est par exemple pas une boucle simple dans la mesure où la séquence 51 peut être répétée (ie 4515141, 451515141 ...).

La dernière propriété que nous évoquerons concerne les connections entre les différents réarrangements d'un Siteswap Scramblable. Miika Toukola démontre en effet sur rec.juggling en 2005 que quelles que soient les rotations entre 2 réarrangements d'un même Siteswap Scramblable une transition est nécessaire. Il n'existe en effet pas d'état commun entre 2 réarrangements différents.

Si on prend pour exemple 741, les états sont : [ 0010111; 1001011; 0101101; 0010111 ]. Pour 714 les états sont : [ 0011011; 1001101; 0100111; 0011011 ]. On n'a en effet pas d'état commun et on aura beau effectuer des rotations sur ces Siteswaps, il ne sera pas possible de les connecter sans transition.

De cette dernière propriété il en découle naturellement qu'un réarrangement d'un Siteswap Scramblable Fondamental engendre soit une rotation du Siteswap, soit un Siteswap excité.

Enfin, on pourra vérifier que comme précisé au Chapitre X, le Dual d'un Siteswap Scramblable Vanille est également un Siteswap Scramblable Vanille. On avait donc uniquement besoin de calculer les Siteswaps Scramblables de hauteur Maximum 15 jusqu'à 7 objets pour en déduire ceux de 8 à 15 objets.

XII-2 - Notation Synchrone

Bien entendu le concept de Siteswap Scramblable est adaptable à l'ensemble des différentes familles de Siteswaps et en l'occurence aux Siteswaps Synchrones. L'idée est toujours la même, quelque soit le réarrangement des chiffres on obtient un Siteswap valide. Pour rester cohérent avec la notation Vanille on nommera Anagramme également un réarrangement valide, même si syntaxiquement on pourrait y émettre des réserves (Dans la mesure où du coup on fait abstraction des symboles « ( , ) ». On remarquera, que dans le cas synchrone, les Siteswaps de période 2 sont bien évidemment toujours Scramblables.

Le tableau ci-dessous présente les Siteswaps Scramblables Synchrones. Pour ne pas complexifier le tableau, seul un Anagramme est donné par Siteswap Scramblable. Les symboles « * » en début et fin indiquent le caractère excité du Siteswap associé. Ces Siteswaps excités n'impliquent évidemment en aucun cas qu'il n'existe pas un réarrangement ou un Anagramme dans un état fondamental, sans pour autant le garantir.

		Période
	Siteswaps Scramblables Synchrones	0	2	4	6	8
Nombre d'objets	0		(0,0)	(0,0)(0,0)	(0,0)(0,0)(0,0)	(0,0)(0,0)(0,0)(0,0)
	1		(0,2)	* (0,0)(0,4) *	* (0,0)(0,0)(0,6) *	(0,0)(0,0)(0,0)(0,8)
	2		* (0,4) * (2,2) (2x,2x)	* (0,0)(0,8) * * (0,0)(4,4) * (2,2)(2,2) (2x,2x)(2x,2x)	* (0,0)(0,0)(0,c) * * (0,0)(0,0)(6,6) * (2,2)(2,2)(2,2) (2x,2x)(2x,2x)(2x,2x)	* (0,0)(0,0)(0,0)(8,8) * (2,2)(2,2)(2,2)(2,2) (2x,2x)(2x,2x)(2x,2x)(2x,2x)
	3		* (0,6) * (2,4) (2x,4x)	* (0,0)(0,c) * * (0,0)(4,8) * * (0,4)(4,4) * * (2,2)(2,6) * * (2x,2x)(2x,6x) *	* (0,0)(0,0)(6,c) * * (0,0)(0,6)(6,6) * * (2,2)(2,2)(2,8) * * (2x,2x)(2x,2x)(2x,8x) *	* (0,0)(0,0)(0,8)(8,8) * * (2,2)(2,2)(2,2)(2,a) * * (2x,2x)(2x,2x)(2x,2x)(2x,ax) *
	4		* (0,8) * * (2,6) * * (2x,6x) * (4,4) (4x,4x)	* (0,0)(4,c) * * (0,4)(4,8) * * (0,0)(8,8) * * (2,2)(2,a) * * (2x,2x)(2x,ax) * * (2,2)(6,6) * * (2x,2x)(6x,6x) * (4,4)(4,4) (4x,4x)(4x,4x)	* (0,0)(0,0)(c,c) * * (0,0)(0,6)(6,c) * * (0,0)(6,6)(6,6) * * (2,2)(2,2)(2,e) * * (2x,2x)(2x,2x)(2x,ex) * * (2,2)(2,2)(8,8) * * (2x,2x)(2x,2x)(8x,8x) * (4,4)(4,4)(4,4) (4x,4x)(4x,4x)(4x,4x)	* (0,0)(0,0)(8,8)(8,8) * * (2,2)(2,2)(2,2)(a,a) * * (2x,2x)(2x,2x)(2x,2x)(ax,ax) * (4,4)(4,4)(4,4)(4,4) (4x,4x)(4x,4x)(4x,4x)(4x,4x)
	5		* (0,a) * * (2,8) * * (2x,8x) * (4,6) (4x,6x)	* (0,0)(8,c) * * (0,4)(4,c) * * (0,4)(8,8) * * (2,2)(2,e) * * (2x,2x)(2x,ex) * * (2,2)(6,a) * * (2x,6x)(6x,ax) * * (2,6)(6,6) * * (2x,6x)(6x,6x) * (4,4)(4,8) * * (4x,4x)(4x,8x) *	* (0,0)(0,6)(c,c) * * (0,0)(6,6)(6,c) * * (0,6)(6,6)(6,6) * * (2,2)(2,2)(8,e) * * (2x,2x)(2x,2x)(8x,ex) * * (2,2)(2,8)(8,8) * * (2x,2x)(2x,8x)(8x,8x) * * (4,4)(4,4)(4,a) * * (4x,4x)(4x,4x)(4x,ax) *	* (0,0)(0,8)(8,8)(8,8) * * (2,2)(2,2)(2,a)(a,a) * * (2x,2x)(2x,2x)(2x,ax)(ax,ax) * * (4,4)(4,4)(4,4)(4,c) * * (4x,4x)(4x,4x)(4x,4x)(4x,cx) *
	6		* (0,c) * * (2,a) * * (2x,ax) * * (4,8) * * (4x,8x) * (6,6) (6x,6x)	* (0,0)(c,c) * * (0,4)(8,c) * * (0,8)(8,8) * * (2,2)(6,e) * * (2,2)(a,a) * * (2x,2x)(ax,ax) * * (2,6)(6,a) * * (2x,6x)(6x,ax) * * (4,4)(4,c) * * (4x,4x)(4x,cx) * * (4,4)(8,8) * * (4x,4x)(8x,8x) * (6,6)(6,6) (6x,6x)(6x,6x)	* (0,0)(0,c)(c,c) * (0,0)(6,6)(c,c) * * (0,6)(6,6)(6,c) * * (2,2)(2,2)(e,e) * * (2x,2x)(2x,2x)(ex,ex) * * (2,2)(2,8)(8,e) * * (2x,2x)(2x,8x)(8x,ex) * * (2,2)(8,8)(8,8) * * (2x,2x)(8x,8x)(8x,8x) * * (4,4)(4,4)(a,a) * * (4x,4x)(4x,4x)(ax,ax) * (6,6)(6,6)(6,6) (6x,6x)(6x,6x)(6x,6x) *	* (0,0)(8,8)(8,8)(8,8) * * (2,2)(2,2)(a,a)(a,a) * * (2x,2x)(2x,2x)(ax,ax)(ax,ax) * * (4,4)(4,4)(4,4)(c,c) * * (4x,4x)(4x,4x)(4x,4x)(cx,cx) * (6,6)(6,6)(6,6)(6,6) (6x,6x)(6x,6x)(6x,6x)(6x,6x)
	7		* (0,e) * * (2,c) * * (4,a) * (6,8) (6x,8x)	* (0,4)(c,c) * * (0,8)(8,c) * * (2,2)(a,e) * * (2,6)(6,e) * * (2,6)(a,a) * * (2x,6x)(ax,ax) * * (4,4)(8,c) * * (4x,4x)(8x,cx) * * (4,8)(8,8) * * (4x,8x)(8x,8x) * * (6,6)(6,a) * * (6x,6x)(6x,ax) *	* (0,0)(6,c)(c,c) * * (0,6)(6,6)(c,c) * * (2,2)(2,8)(e,e) * * (2x,2x)(2x,8x)(ex,ex) * * (2,2)(8,8)(8,e) * * (2x,2x)(8x,8x)(8x,ex) * * (2,8)(8,8)(8,8) * * (2x,8x)(8x,8x)(8x,8x) * * (4,4)(4,a)(a,a) * * (4x,4x)(4x,ax)(ax,ax) * * (6,6)(6,6)(6,c) * * (6x,6x)(6x,6x)(6x,cx) *	* (0,8)(8,8)(8,8)(8,8) * * (2,2)(2,a)(a,a)(a,a) * * (2x,2x)(2x,ax)(ax,ax)(ax,ax) * * (4,4)(4,4)(4,c)(c,c) * * (4x,4x)(4x,4x)(4x,cx)(cx,cx) * * (6,6)(6,6)(6,6)(6,e) * * (6x,6x)(6x,6x)(6x,6x)(6x,ex) *
	8		* (2,e) * * (4,c) * * (6,a) * (8,8) (8x,8x)	* (0,8)(c,c) * * (2,2)(e,e) * * (2,6)(a,e) * * (2,a)(a,a) * * (2x,ax)(ax,ax) * * (4,4)(c,c) * * (4x,4x)(cx,cx) * * (4,8)(8,c) * * (4x,8x)(8x,cx) * * (6,6)(6,e) * * (6,6)(a,a) * * (6x,6x)(ax,ax) * (8,8)(8,8) (8x,8x)(8x,8x)	* (0,0)(c,c)(c,c) * * (0,6)(6,c)(c,c) * * (2,2)(2,e)(e,e) * * (2x,2x)(2x,ex)(ex,ex) * * (2,2)(8,8)(e,e) * * (2x,2x)(8x,8x)(ex,ex) * * (2,8)(8,8)(8,e) * * (2x,8x)(8x,8x)(8x,ex) * * (4,4)(a,a)(a,a) * * (4x,4x)(ax,ax)(ax,ax) * * (6,6)(6,6)(c,c) * * (6x,6x)(6x,6x)(cx,cx) * (8,8)(8,8)(8,8) (8x,8x)(8x,8x)(8x,8x)	* (2,2)(a,a)(a,a)(a,a) * * (2x,2x)(ax,ax)(ax,ax)(ax,ax) * * (4,4)(4,4)(c,c)(c,c) * * (4x,4x)(4x,4x)(cx,cx)(cx,cx) * * (6,6)(6,6)(6,6)(e,e) * * (6x,6x)(6x,6x)(6x,6x)(ex,ex) * (8,8)(8,8)(8,8)(8,8) (8x,8x)(8x,8x)(8x,8x)(8x,8x)
	9		* (4,e) * * (4x,ex) * * (6,c) * * (6x,cx) * (a,8) (ax,8x)	* (0,c)(c,c) * * (2,6)(e,e) * * (2x,6x)(ex,ex) * * (2,a)(a,e) * * (4,8)(c,c) * * (4x,8x)(cx,cx) * * (6,a)(a,a) * * (6x,ax)(ax,ax) * * (6,6)(a,e) * * (8,8)(8,c) * * (8x,8x)(8x,cx) *	* (0,6)(c,c)(c,c) * * (2,2)(8,e)(e,e) * * (2x,2x)(8x,ex)(ex,ex) * * (2,8)(8,8)(e,e) * * (2x,8x)(8x,8x)(ex,ex) * * (4,a)(a,a)(a,a) * * (4x,ax)(ax,ax)(ax,ax) * * (6,6)(6,c)(c,c) * * (6x,6x)(6x,cx)(cx,cx) * * (8,8)(8,8)(8,e) * * (8x,8x)(8x,8x)(8x,ex) *	* (2,a)(a,a)(a,a)(a,a) * * (2x,ax)(ax,ax)(ax,ax)(ax,ax) * * (4,4)(4,c)(c,c)(c,c) * * (4x,4x)(4x,cx)(cx,cx)(cx,cx) * * (6,6)(6,6)(6,e)(e,e) * * (6x,ex)(6x,6x)(6x,6x)(ex,ex) *
	10		* (6,e) * * (8,c) * (a,a) (ax,ax)	* (2,a)(e,e) * * (4,c)(c,c) * * (4x,cx)(cx,cx) * * (6,6)(e,e) * * (6,a)(a,e) * * (6x,ax)(ax,ex) * * (8,8)(c,c) * * (8x,8x)(cx,cx) * (a,a)(a,a) (ax,ax)(ax,ax)	* (0,c)(c,c)(c,c) * * (2,2)(e,e)(e,e) * * (2x,2x)(ex,ex)(ex,ex) * * (2,8)(8,e)(e,e) * * (2x,8x)(8x,ex)(ex,ex) * * (6,6)(c,c)(c,c) * * (6x,6x)(cx,cx)(cx,cx) * * (8,8)(8,8)(e,e) * * (8x,8x)(8x,8x)(ex,ex) * (a,a)(a,a)(a,a) (ax,ax)(ax,ax)(ax,ax)	* (4,4)(c,c)(c,c)(c,c) * * (4x,4x)(cx,cx)(cx,cx)(cx,cx) * * (6,6)(6,6)(e,e)(e,e) * * (6x,6x)(6x,6x)(ex,ex)(ex,ex) * (a,a)(a,a)(a,a)(a,a) (ax,ax)(ax,ax)(ax,ax)(ax,ax)
	11		* (8,e) * (a,c)	* (2,e)(e,e) * * (6,a)(e,e) * * (8,c)(c,c) * (8x,cx)(cx,cx) * * (a,a)(a,e) *	* (2,8)(e,e)(e,e) * * (2x,8x)(ex,ex)(ex,ex) * * (6,c)(c,c)(c,c) * * (6x,cx)(cx,cx)(cx,cx) * (8,8)(8,e)(e,e) * * (8x,8x)(8x,ex)(ex,ex) *	* (4,c)(c,c)(c,c)(c,c) * * (4x,cx)(cx,cx)(cx,cx)(cx,cx) * * (6,6)(6,e)(e,e)(e,e) * * (6x,6x)(6x,ex)(ex,ex)(ex,ex) *
	12		* (a,e) * * (ax,ex) * (c,c) (cx,cx)	* (6,e)(e,e) * * (a,a)(e,e) * * (ax,ax)(ex,ex) * (c,c)(c,c) (cx,cx)(cx,cx)	* (2,e)(e,e)(e,e) * * (2x,ex)(ex,ex)(ex,ex) * * (8,8)(e,e)(e,e) * * (8x,8x)(ex,ex)(ex,ex) * (c,c)(c,c)(c,c) (cx,cx)(cx,cx)(cx,cx)	* (6,6)(e,e)(e,e)(e,e) * * (6x,6x)(ex,ex)(ex,ex)(ex,ex) * (c,c)(c,c)(c,c)(c,c) (cx,cx)(cx,cx)(cx,cx)(cx,cx)
	13		(c,e)	* (a,e)(e,e) *	* (8,e)(e,e)(e,e) * * (8x,ex)(ex,ex)(ex,ex) *	* (6,e)(e,e)(e,e)(e,e) * * (6x,ex)(ex,ex)(ex,ex)(ex,ex)
	14		(e,e) (ex,ex)	(e,e)(e,e) (ex,ex)(ex,ex)	(e,e)(e,e)(e,e) (ex,ex)(ex,ex)(ex,ex)	(e,e)(e,e)(e,e)(e,e) (ex,ex)(ex,ex)(ex,ex)(ex,ex)
	15
	Somme (0..15)	0	54	105	105	64

XII-3 - Notation Multiplexe

Dans le cas de la Notation Multiplexe, on va adapter légérement la définition afin de s'assurer que les Anagrammes dérivés du Siteswap Scramblable ont toujours la même période. Pour cela on va toujours considérer les lancers au sein d'un groupe Multiplexe comme un bloc indissociable. C'est l'entièreté de ces blocs qui seront permutés pour constituer les différents Anagrammes et non pas un lancer en particulier.

Finalement avec cette adaptation, tous les Siteswaps Multiplexes de Période 1 et 2, quelque soit le nombre de lancers au sein des Multiplexes, sont Scramblables.

Par la suite on présentera les tableaux des différents Siteswaps Scramblables Multiplexes. Pour ne pas complexifier les tableaux, seul un Anagramme sera donné par Siteswap Scramblable. Les symboles « * » en début et fin indiquent le caractère excité du Siteswap associé. Ces Siteswaps excités n'impliquent évidemment en aucun cas qu'il n'existe pas un réarrangement ou un Anagramme dans un état fondamental, sans pour autant le garantir. Enfin on limitera les entrées au sein des tableaux aux vrais Multiplexes uniquement, i.e qu'on exclue les Siteswaps Vanilles.

Enfin, on pourra vérifier que comme précisé au Chapitre X, le Dual d'un Siteswap Scramblable Muliplexe est également un Siteswap Scramblable Multiplexe. La Formule étant un peu plus complexe qu'avec les Siteswaps Duaux Vanilles, la comparaison n'est cependant pas aussi immédiate.

a - Multiplexe : 0 objet

Avec 0 lancé simultané, on n'est pas dans un vrai Multiplexe. On se reportera donc à la ligne correspondante des Siteswaps Scramblable Vanilles.

b - Multiplexe : 1 objet

Avec 1 lancé simultané, on est exactement dans un Siteswap Vanille. On se reportera donc au tableau des Siteswaps Scramblable Vanilles.

c - Multiplexe : 2 objets

Le tableau ci-dessous donne les Siteswap scramblables Multiplexes avec au moins un lancer simultané de 2 objets jusqu'à la période 5. Aucune distinction n'a été faite entre les Multiplexes comportant des Squeezes ou non.

		Période
	Nb Siteswaps Scramblables Multiplexes #2	0	1	2	3	4	5
Nombre d'objets	0
	1
	2		1	1	3	3	3
	3			2	7	7	7
	4		1	8	22	24	24
	5		1	16	47	56	55
	6		2	31	102	125	126
	7		2	49	182	244	243
	8		3	76	314	441	450
	9		3	106	480	723	743
	10		4	143	700	1097	1155
	11		4	178	928	1530	1629
	12		5	213	1173	1983	2153
	13		5	239	1365	2378	2603
	14		6	261	1514	2655	2940
	15		6	269	1556	2755	3048
	Somme (0..15)	0	43	1592	8393	14021	15179

XII-4 - Notation Synchrone Multiplexe

En Notation Synchrone Multiplexe on reprend bien entendu les choix faits avec les Notations Multiplexes et Synchrones. En l'occurence on va toujours considérer les lancers au sein d'un groupe Multiplexe comme un bloc indissociable. C'est l'entièreté de ces blocs qui seront permutés pour constituer les différents Anagrammes et non pas un lancer en particulier.

Finalement avec cette adaptation, tous les Siteswaps Multiplexes de Période 2, quelque soit le nombre de lancers au sein des Multiplexes, sont Scramblables.

Le tableau ci-dessous présente les Siteswaps Scramblables Synchrones Multiplexes. Pour ne pas complexifier le tableau, seul un Anagramme est donné par Siteswap Scramblable. Les symboles « * » en début et fin indiquent le caractère excité du Siteswap associé. Ces Siteswaps excités n'impliquent évidemment en aucun cas qu'il n'existe pas un réarrangement ou un Anagramme dans un état fondamental, sans pour autant le garantir. Enfin on limitera les entrées au sein des tableaux aux vrais Multiplexes uniquement, i.e qu'on exclue les Siteswaps Synchrones.

a - Multiplexe : 0 objet

Avec 0 lancé simultané, on n'est pas dans un vrai Multiplexe. On se reportera donc à la ligne correspondante des Siteswaps Scramblable Synchrones.

b - Multiplexe : 1 objet

Avec 1 lancé simultané, on est exactement dans un Siteswap Synchrone. On se reportera donc au tableau des Siteswaps Scramblable Synchrones.

c - Multiplexe : 2 objets

Le tableau ci-dessous donne les Siteswap scramblables Synchrones Multiplexes avec au moins un lancer simultané de 2 objets jusqu'à la période 6. Aucune distinction n'a été faite entre les siteswaps comportant des Squeezes ou non.

		Période
	Nb Siteswaps Scramblables Synchrones Multiplexes #2	0	2	4	6
Nombre d'objets	0
	1
	2			1	1
	3			3	3
	4		3	12	11
	5		7	28	25
	6		19	73	65
	7		30	147	125
	8		52	295	?
	9		75	492	?
	10		97	807	?
	11		111	1125	?
	12		176	1526	?
	13		137	1816	?
	14		155	2092	?
	15		211	2111	?
	Somme (0..15)	0	1073	10528	?

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